ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите НОД и НОК чисел:

а) 2^14 • 3^7 и 2^11 • 3^15;

б) 2^20 • 5^13 • 7^7 и 2^11 • 5^14 • 7^6;

в) 2^124 • 3^7 и 2^111 • 5^5;

г) 2^12 • 3^11 • 5^16; 2^9 • 3^14 • 5^26 и 2^11 • 3^7 • 5^20.

Найти НОД и НОК чисел:

а) $2^{14} \cdot 3^7$ и $2^{11} \cdot 3^{15}$;

Перемножим общие множители:

$$\text{НОД} = 2^{11} \cdot 3^7;$$

Перемножим числа с большими степенями:

$$\text{НОК} = 2^{14} \cdot 3^{15};$$

б) $2^{20} \cdot 5^{13} \cdot 7^7$ и $2^{11} \cdot 5^{14} \cdot 7^6$;

Перемножим общие множители:

$$\text{НОД} = 2^{11} \cdot 5^{13} \cdot 7^6;$$

Перемножим числа с большими степенями:

$$\text{НОК} = 2^{20} \cdot 5^{14} \cdot 7^7;$$

в) $2^{124} \cdot 3^7$ и $2^{111} \cdot 5^5$;

Перемножим общие множители:

$$\text{НОД} = 2^{111};$$

Перемножим числа с большими степенями:

$$\text{НОК} = 2^{124} \cdot 3^7 \cdot 5^5;$$

г) $2^{12} \cdot 3^{11} \cdot 5^{16}$, $2^9 \cdot 3^{14} \cdot 5^{26}$ и $2^{11} \cdot 3^7 \cdot 5^{20}$;

Перемножим общие множители:

$$\text{НОД} = 2^9 \cdot 3^7 \cdot 5^{16};$$

Перемножим числа с большими степенями:

$$\text{НОК}=2^{12}\cdot 3^{14}\cdot 5^{26}$$

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) чисел, представленных в виде произведений степеней простых чисел, нам нужно:

1. Для НОД — выбрать минимальные степени простых множителей, которые встречаются в разложениях обоих чисел.
2. Для НОК — выбрать максимальные степени простых множителей, которые встречаются в разложениях обоих чисел.

Теперь давайте рассмотрим каждую задачу и подробно разберем шаги для нахождения НОД и НОК.

а) $2^{14} \cdot 3^7$ и $2^{11} \cdot 3^{15}$

Шаг 1: Находим НОД

Чтобы найти НОД, выбираем минимальные степени для каждого простого множителя:

• Для $2^{14}$ и $2^{11}$, минимальная степень будет $2^{11}$,
• Для $3^7$ и $3^{15}$, минимальная степень будет $3^7$.

Таким образом, НОД будет равен:

$$\text{НОД} = 2^{11} \cdot 3^7$$

Шаг 2: Находим НОК

Чтобы найти НОК, выбираем максимальные степени для каждого простого множителя:

• Для $2^{14}$ и $2^{11}$, максимальная степень будет $2^{14}$,
• Для $3^7$ и $3^{15}$, максимальная степень будет $3^{15}$.

Таким образом, НОК будет равен:

$$\text{НОК} = 2^{14} \cdot 3^{15}$$

Ответ для пункта (а):

• НОД = $2^{11} \cdot 3^7$
• НОК = $2^{14} \cdot 3^{15}$

б) $2^{20} \cdot 5^{13} \cdot 7^7$ и $2^{11} \cdot 5^{14} \cdot 7^6$

Шаг 1: Находим НОД

Для НОД выбираем минимальные степени каждого простого множителя:

• Для $2^{20}$ и $2^{11}$, минимальная степень будет $2^{11}$,
• Для $5^{13}$ и $5^{14}$, минимальная степень будет $5^{13}$,
• Для $7^7$ и $7^6$, минимальная степень будет $7^6$.

Таким образом, НОД будет равен:

$$\text{НОД} = 2^{11} \cdot 5^{13} \cdot 7^6$$

Шаг 2: Находим НОК

Для НОК выбираем максимальные степени каждого простого множителя:

• Для $2^{20}$ и $2^{11}$, максимальная степень будет $2^{20}$,
• Для $5^{13}$ и $5^{14}$, максимальная степень будет $5^{14}$,
• Для $7^7$ и $7^6$, максимальная степень будет $7^7$.

Таким образом, НОК будет равен:

$$\text{НОК} = 2^{20} \cdot 5^{14} \cdot 7^7$$

Ответ для пункта (б):

• НОД = $2^{11} \cdot 5^{13} \cdot 7^6$
• НОК = $2^{20} \cdot 5^{14} \cdot 7^7$

в) $2^{124} \cdot 3^7$ и $2^{111} \cdot 5^5$

Шаг 1: Находим НОД

Для НОД выбираем минимальные степени каждого простого множителя:

• Для $2^{124}$ и $2^{111}$, минимальная степень будет $2^{111}$,
• Для $3^7$ и $5^5$ нет общих множителей, следовательно, их степень будет $3^0$ и $5^0$ (не существует общих простых множителей).

Таким образом, НОД будет равен:

$$\text{НОД} = 2^{111}$$

Шаг 2: Находим НОК

Для НОК выбираем максимальные степени каждого простого множителя:

• Для $2^{124}$ и $2^{111}$, максимальная степень будет $2^{124}$,
• Для $3^7$ и $5^5$, максимальная степень будет $3^7$ и $5^5$, так как их множители не пересекаются.

Таким образом, НОК будет равен:

$$\text{НОК} = 2^{124} \cdot 3^7 \cdot 5^5$$

Ответ для пункта (в):

• НОД = $2^{111}$
• НОК = $2^{124} \cdot 3^7 \cdot 5^5$

г) $2^{12} \cdot 3^{11} \cdot 5^{16}$, $2^9 \cdot 3^{14} \cdot 5^{26}$ и $2^{11} \cdot 3^7 \cdot 5^{20}$

Шаг 1: Находим НОД

Для НОД выбираем минимальные степени каждого простого множителя:

• Для $2^{12}$, $2^9$ и $2^{11}$, минимальная степень будет $2^9$,
• Для $3^{11}$, $3^{14}$ и $3^7$, минимальная степень будет $3^7$,
• Для $5^{16}$, $5^{26}$ и $5^{20}$, минимальная степень будет $5^{16}$.

Таким образом, НОД будет равен:

$$\text{НОД} = 2^9 \cdot 3^7 \cdot 5^{16}$$

Шаг 2: Находим НОК

Для НОК выбираем максимальные степени каждого простого множителя:

• Для $2^{12}$, $2^9$ и $2^{11}$, максимальная степень будет $2^{12}$,
• Для $3^{11}$, $3^{14}$ и $3^7$, максимальная степень будет $3^{14}$,
• Для $5^{16}$, $5^{26}$ и $5^{20}$, максимальная степень будет $5^{26}$.

Таким образом, НОК будет равен:

$$\text{НОК} = 2^{12} \cdot 3^{14} \cdot 5^{26}$$

Ответ для пункта (г):

• НОД = $2^9 \cdot 3^7 \cdot 5^{16}$
• НОК = $2^{12} \cdot 3^{14} \cdot 5^{26}$

Итоговые ответы:

• а) НОД = $2^{11} \cdot 3^7$, НОК = $2^{14} \cdot 3^{15}$
• б) НОД = $2^{11} \cdot 5^{13} \cdot 7^6$, НОК = $2^{20} \cdot 5^{14} \cdot 7^7$
• в) НОД = $2^{111}$, НОК = $2^{124} \cdot 3^7 \cdot 5^5$
• г) НОД = $2^9 \cdot 3^7 \cdot 5^{16}$, НОК = $2^{12}\cdot 3^{14}\cdot 5^{26}$