ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\arccos (-\frac{1}{2})+\arcsin (-\frac{1}{2})=\pi -\arccos \frac{1}{2}-\arcsin \frac{1}{2}=$

$=\pi -\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{6\pi }{6}-\frac{2\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi }{6}=\frac{\pi }{2};$

Ответ: $\frac{\pi }{2}$.

б) $\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})-\arcsin (-1)=\pi -\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}+\arcsin 1=$

$=\pi -\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}=\frac{4\pi }{4}-\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi }{4}=\frac{5\pi }{4};$

Ответ: $\frac{5\pi }{4}$.

в) $\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2})+\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})=\pi -\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=$

$=\pi -\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{3}=\frac{6\pi }{6}-\frac{\pi }{6}-\frac{2\pi }{6}=\frac{3\pi }{6}=\frac{\pi }{2};$

Ответ: $\frac{\pi }{2}$.

г) $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}-\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})=\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}+\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=$

$=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{12}+\frac{4\pi }{12}=\frac{7\pi }{12};$

Ответ: $\frac{7\pi }{12}$.

а) $\arccos (-\frac{1}{2})+\arcsin (-\frac{1}{2})=\pi -\arccos \frac{1}{2}-\arcsin \frac{1}{2}=$

$=\pi -\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{6\pi }{6}-\frac{2\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi }{6}=\frac{\pi }{2};$

Что такое $\arccos (-\frac{1}{2})$?

$$\arccos (-\frac{1}{2})$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $-\frac{1}{2}$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\cos t=-\frac{1}{2}$$

Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$$

Таким образом:

$$\arccos (-\frac{1}{2})=\frac{2\pi }{3}$$

Что такое $\arcsin (-\frac{1}{2})$?

$$\arcsin (-\frac{1}{2})$$

— это угол $t$, для которого синус равен $-\frac{1}{2}$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\sin t=-\frac{1}{2}$$

Из известных значений синуса:

$$\sin (-\frac{\pi }{6})=-\frac{1}{2}$$

Таким образом:

$$\arcsin (-\frac{1}{2})=-\frac{\pi }{6}$$

Подставляем полученные значения в выражение:
Рассматриваем выражение:

$$\arccos (-\frac{1}{2})+\arcsin (-\frac{1}{2})=\frac{2\pi }{3}+(-\frac{\pi }{6})$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$\frac{2\pi }{3}=\frac{4\pi }{6},-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}$$

Тогда:

$$\frac{4\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$$

Таким образом:

$$\text{Ответ: }\frac{\pi }{2}$$

б) $\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})-\arcsin (-1)=\pi -\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}+\arcsin 1=$

$=\pi -\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}=\frac{4\pi }{4}-\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi }{4}=\frac{5\pi }{4};$

Что такое $\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})$?

$$\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\cos t=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Таким образом:

$$\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{3\pi }{4}$$

Что такое $\arcsin (-1)$?

$$\arcsin (-1)$$

— это угол $t$, для которого синус равен $-1$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\sin t=-1$$

Из известных значений синуса:

$$\sin (-\frac{\pi }{2})=-1$$

Таким образом:

$$\arcsin (-1)=-\frac{\pi }{2}$$

Подставляем полученные значения в выражение:
Рассматриваем выражение:

$$\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})-\arcsin (-1)=\frac{3\pi }{4}-(-\frac{\pi }{2})$$

Преобразуем:

$$\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{4}+\frac{2\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$$

Таким образом:

$$\text{Ответ: }\frac{5\pi }{4}$$

в) $\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2})+\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})=\pi -\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=$

$=\pi -\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{3}=\frac{6\pi }{6}-\frac{\pi }{6}-\frac{2\pi }{6}=\frac{3\pi }{6}=\frac{\pi }{2};$

Что такое $\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2})$?

$$\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2})$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\cos t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом:

$$\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{5\pi }{6}$$

Что такое $\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})$?

$$\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})$$

— это угол $t$, для которого синус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\sin t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Из известных значений синуса:

$$\sin (-\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом:

$$\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{\pi }{3}$$

Подставляем полученные значения в выражение:
Рассматриваем выражение:

$$\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2})+\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{5\pi }{6}+(-\frac{\pi }{3})$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}-\frac{2\pi }{6}=\frac{3\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$$

Таким образом:

$$\text{Ответ: }\frac{\pi }{2}$$

г) $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}-\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})=\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}+\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{12}+\frac{4\pi }{12}=\frac{7\pi }{12};$

Что такое $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$?

$$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Таким образом:

$$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$$

Что такое $\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})$?

$$\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})$$

— это угол $t$, для которого синус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\sin t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Из известных значений синуса:

$$\sin (-\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом:

$$\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{\pi }{3}$$

Подставляем полученные значения в выражение:
Рассматриваем выражение:

$$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}+\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{12},\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{12}$$

Тогда:

$$\frac{3\pi }{12}+\frac{4\pi }{12}=\frac{7\pi }{12}$$

Таким образом:

$$\text{Ответ: }\frac{7\pi }{12}$$

Итог:

а) $\frac{\pi }{2}$

б) $\frac{5\pi }{4}$

в) $\frac{\pi }{2}$

г) $\frac{7\pi }{12}$