ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\cos (2\arccos \frac{1}{2}-3\arccos 0-\arccos (-\frac{1}{2}))=\cos (2\cdot \frac{\pi }{3}-3\cdot \frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{3})=$

$=\cos (-\frac{3\pi }{2})=\cos \frac{3\pi }{2}=0$;

Ответ: $0$.

б) $\frac{1}{3}(\arccos \frac{1}{3}+\arccos (-\frac{1}{3}))=\frac{1}{3}(\arccos \frac{1}{3}+\pi -\arccos \frac{1}{3})=\frac{1}{3}\cdot \pi =\frac{\pi }{3}$;

Ответ: $\frac{\pi }{3}$.

а) $\cos (2\arccos \frac{1}{2}-3\arccos 0-\arccos (-\frac{1}{2}))$

Что такое $\arccos \frac{1}{2}$?

$$\arccos \frac{1}{2}$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $\frac{1}{2}$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\cos t=\frac{1}{2}$$

Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$$

Таким образом:

$$\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$$

Что такое $\arccos 0$?

$$\arccos 0$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $0$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\cos t=0$$

Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{\pi }{2}=0$$

Таким образом:

$$\arccos 0=\frac{\pi }{2}$$

Что такое $\arccos (-\frac{1}{2})$?

$$\arccos (-\frac{1}{2})$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $-\frac{1}{2}$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\cos t=-\frac{1}{2}$$

Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$$

Таким образом:

$$\arccos (-\frac{1}{2})=\frac{2\pi }{3}$$

Подставляем полученные значения в выражение:

Рассматриваем выражение:

$$\cos (2\arccos \frac{1}{2}-3\arccos 0-\arccos (-\frac{1}{2}))$$

Подставляем найденные значения:

$$\cos (2\cdot \frac{\pi }{3}-3\cdot \frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{3})$$

Выполняем умножение:

$$2\cdot \frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3},3\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}$$

Тогда выражение становится:

$$\cos (\frac{2\pi }{3}-\frac{3\pi }{2}-\frac{2\pi }{3})$$

Упростим:

$$\frac{2\pi }{3}-\frac{2\pi }{3}=0$$

Таким образом, выражение сводится к:

$$\cos (0-\frac{3\pi }{2})=\cos (-\frac{3\pi }{2})$$

Так как косинус — чётная функция:

$$\cos (-\frac{3\pi }{2})=\cos \frac{3\pi }{2}$$

Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{3\pi }{2}=0$$

Ответ: $0$

б) $\frac{1}{3}(\arccos \frac{1}{3}+\arccos (-\frac{1}{3}))$

Что такое $\arccos \frac{1}{3}$?

$$\arccos \frac{1}{3}$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $\frac{1}{3}$. Это значение не совпадает с известными углами, поэтому оставим его как $\arccos \frac{1}{3}$.

Что такое $\arccos (-\frac{1}{3})$?

$$\arccos (-\frac{1}{3})$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $-\frac{1}{3}$. Это значение тоже не совпадает с известными углами, поэтому оставим его как $\arccos (-\frac{1}{3})$.

Подставляем полученные значения в выражение:

Рассматриваем выражение:

$$\frac{1}{3}(\arccos \frac{1}{3}+\arccos (-\frac{1}{3}))$$

Из свойств функции арккосинуса:

$$\arccos (-\frac{1}{3})=\pi -\arccos \frac{1}{3}$$

Таким образом, выражение становится:

$$\frac{1}{3}(\arccos \frac{1}{3}+\pi -\arccos \frac{1}{3})$$

Сокращаем $\arccos \frac{1}{3}$ и $-\arccos \frac{1}{3}$:

$$\frac{1}{3}\cdot \pi$$

Получаем:

$$\frac{\pi }{3}$$

Ответ: $\frac{\pi }{3}$

Итог:

а) $0$

б) $\frac{\pi }{3}$