ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) sin (arccosx + arccos(-x)) = 0;

б) cos (arcsinx + arcsin(-x)) = 1.

а) $\sin(\arccos x + \arccos(-x)) = 0$;

$$\sin(\arccos x + \pi — \arccos x) = 0;$$ $$\sin \pi = 0;$$ $$0 = 0;$$

Тождество доказано.

б) $\cos(\arcsin x + \arcsin(-x)) = 1$;

$$\cos(\arcsin x — \arcsin x) = 1;$$ $$\cos 0 = 1;$$ $$1 = 1;$$

Тождество доказано.

а) $\sin(\arccos x + \arccos(-x)) = 0$

1. Разбираем выражение $\arccos x + \arccos(-x)$:

• $\arccos x$ — это угол $\theta_1$, такой что $\cos \theta_1 = x$.
• $\arccos(-x)$ — это угол $\theta_2$, такой что $\cos \theta_2 = -x$.

Так как $\cos \theta_2 = -x$, то $\theta_2 = \pi — \theta_1$, так как $\cos(\pi — \theta_1) = -\cos(\theta_1)$. То есть:

$$\arccos(-x) = \pi — \arccos x$$

2. Подставляем выражение для $\arccos(-x)$:
Теперь, подставляем $\arccos(-x) = \pi — \arccos x$ в исходное выражение:

$$\sin(\arccos x + \arccos(-x)) = \sin\left( \arccos x + \pi — \arccos x \right)$$

Здесь $\arccos x$ и $-\arccos x$ взаимно уничтожаются, и остается:

$$\sin(\pi) = 0$$

3. Ответ:
Поскольку $\sin(\pi) = 0$, то:

$$0 = 0$$

Тождество доказано.

б) $\cos(\arcsin x + \arcsin(-x)) = 1$

1. Разбираем выражение $\arcsin x + \arcsin(-x)$:

• $\arcsin x$ — это угол $\theta_1$, такой что $\sin \theta_1 = x$.
• $\arcsin(-x)$ — это угол $\theta_2$, такой что $\sin \theta_2 = -x$.

Так как $\sin \theta_2 = -x$, то $\theta_2 = -\theta_1$, так как $\sin(-\theta_1) = -\sin(\theta_1)$. То есть:

$$\arcsin(-x) = -\arcsin x$$

2. Подставляем выражение для $\arcsin(-x)$:
Теперь, подставляем $\arcsin(-x) = -\arcsin x$ в исходное выражение:

$$\cos(\arcsin x + \arcsin(-x)) = \cos\left( \arcsin x + (-\arcsin x) \right)$$

Здесь $\arcsin x$ и $-\arcsin x$ взаимно уничтожаются, и остается:

$$\cos(0)$$

Известно, что:

$$\cos 0 = 1$$

3. Ответ:
Поскольку $\cos 0 = 1$, то:

$$1 = 1$$

Тождество доказано.