ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

а) у = arccosx;

б) у = arccos(x — 1);

в) у = arccos2x;

г) у = arccos(3 — 2x)

а) $y = \arccos x$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq x \leq 1;$$

Ответ: $x \in [-1; 1]$.

б) $y = \arccos(x — 1)$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq x — 1 \leq 1;$$ $$0 \leq x \leq 2;$$

Ответ: $x \in [0; 2]$.

в) $y = \arccos 2x$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq 2x \leq 1;$$ $$-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2};$$

Ответ: $x \in \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$.

г) $y = \arccos(3 — 2x)$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq 3 — 2x \leq 1;$$ $$-4 \leq -2x \leq -2;$$ $$2 \leq 2x \leq 4;$$ $$1 \leq x \leq 2;$$

Ответ: $x \in [1; 2]$.

а) $y = \arccos x$

Что такое функция $\arccos x$?
$\arccos x$ — это обратная функция косинуса, определенная на интервале $[-1, 1]$ для аргумента $x$. Это означает, что для $\arccos x$ значение $x$ должно лежать в пределах от $-1$ до $1$, чтобы функция была определена.

Условия для области определения:
Выражение $\arccos x$ имеет смысл, если $x$ лежит в интервале $[-1, 1]$. Это ограничение на $x$ связано с тем, что косинус принимает значения только в пределах от $-1$ до $1$, а арккосинус существует только для этих значений.

Область определения:
Для того чтобы выражение было определено, необходимо, чтобы $x$ удовлетворяло условию:

$$-1 \leq x \leq 1$$

Ответ:

$$x \in [-1; 1]$$

б) $y = \arccos(x — 1)$

Что такое функция $\arccos(x — 1)$?
Здесь мы рассматриваем функцию арккосинуса для выражения $x — 1$. Чтобы выражение $\arccos(x — 1)$ было определено, необходимо, чтобы аргумент $x — 1$ находился в интервале $[-1; 1]$, так как $\arccos$ определена только на этом интервале.

Условия для области определения:
Чтобы выражение $\arccos(x — 1)$ имело смысл, аргумент $x — 1$ должен удовлетворять следующему условию:

$$-1 \leq x — 1 \leq 1$$

Решаем это неравенство для $x$:

$$-1 \leq x — 1 \leq 1$$

Прибавляем 1 к каждой части неравенства:

$$0 \leq x \leq 2$$

Область определения:
Для того чтобы выражение было определено, $x$ должно принадлежать интервалу $[0; 2]$.

Ответ:

$$x \in [0; 2]$$

в) $y = \arccos 2x$

Что такое функция $\arccos 2x$?
В этом случае мы рассматриваем арккосинус для выражения $2x$. Для того чтобы выражение $\arccos 2x$ было определено, аргумент $2x$ должен быть в пределах от $-1$ до $1$, поскольку $\arccos$ принимает значения только для аргументов в интервале $[-1; 1]$.

Условия для области определения:
Чтобы выражение $\arccos 2x$ имело смысл, аргумент $2x$ должен удовлетворять условию:

$$-1 \leq 2x \leq 1$$

Разделим неравенство на 2, чтобы найти область определения для $x$:

$$-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$$

Область определения:
Для того чтобы выражение было определено, $x$ должно принадлежать интервалу $\left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$.

Ответ:

$$x \in \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$$

г) $y = \arccos(3 — 2x)$

Что такое функция $\arccos(3 — 2x)$?
В данном случае функция арккосинуса применяется к выражению $3 — 2x$. Чтобы выражение $\arccos(3 — 2x)$ было определено, аргумент $3 — 2x$ должен лежать в интервале $[-1; 1]$, так как арккосинус существует только для значений в этом интервале.

Условия для области определения:
Для того чтобы выражение $\arccos(3 — 2x)$ имело смысл, аргумент $3 — 2x$ должен удовлетворять следующему условию:

$$-1 \leq 3 — 2x \leq 1$$

Разделим это неравенство на два:

$$-1 \leq 3 — 2x \quad \text{и} \quad 3 — 2x \leq 1$$

Решаем первое неравенство:

$$-1 \leq 3 — 2x$$

Вычитаем 3 из обеих частей:

$$-4 \leq -2x$$

Делим на $-2$, меняя знак неравенства:

$$2 \geq x$$

То есть:

$$x \leq 2$$

Решаем второе неравенство:

$$3 — 2x \leq 1$$

Вычитаем 3 из обеих частей:

$$-2x \leq -2$$

Делим на $-2$, меняя знак неравенства:

$$x \geq 1$$

Объединяем два неравенства:
Объединяем результаты:

$$1 \leq x \leq 2$$

Область определения:
Для того чтобы выражение было определено, $x$ должно принадлежать интервалу $[1; 2]$.

Ответ:

$$x \in [1; 2]$$

Итог:

а) $x \in [-1; 1]$

б) $x \in [0; 2]$

в) $x \in \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$

г) $x \in [1; 2]$