ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследовать функцию на четность:

а) $y = \arccos x^2 + \frac{\pi}{8}$;
$y(-x) = \arccos(-x)^2 + \frac{\pi}{8} = \arccos x^2 + \frac{\pi}{8} = y(x)$;
Ответ: четная.

б) $y = \frac{\arccos x^2}{x^3}$;
$y(-x) = \frac{\arccos(-x)^2}{(-x)^3} = \frac{\arccos x^2}{-x^3} = -y(x)$;
Ответ: нечетная.

в) $y = \frac{x^4}{\arccos x}$;
$y(-x) = \frac{(-x)^4}{\arccos(-x)} = \frac{x^4}{\pi — \arccos x}$;
Ответ: ни четная, ни нечетная.

г) $y = 2x^3 \cdot \arccos x^6$;
$y(-x) = 2(-x)^3 \cdot \arccos(-x)^6 = -2x^3 \cdot \arccos x^6 = -y(x)$;
Ответ: нечетная.

Исследование функции на четность:

Чтобы исследовать функцию на четность, нужно понять, что функция $y(x)$ называется четной, если выполняется условие:

$$y(-x) = y(x)$$

и называется нечетной, если выполняется условие:

$$y(-x) = -y(x)$$

Если ни одно из этих условий не выполняется, то функция считается ни четной, ни нечетной.

Теперь рассмотрим каждую из предложенных функций:

а) $y = \arccos x^2 + \frac{\pi}{8}$

Проверим, что происходит при замене $x$ на $-x$:
Подставим $-x$ в выражение для $y$:

$$y(-x) = \arccos(-x)^2 + \frac{\pi}{8}$$

Заметьте, что $(-x)^2 = x^2$, так как квадрат любого числа всегда положительный. Таким образом:

$$y(-x) = \arccos x^2 + \frac{\pi}{8}$$

Мы видим, что $y(-x) = y(x)$.

Решение:
Так как $y(-x) = y(x)$, это означает, что функция четная.

Ответ: четная.

б) $y = \frac{\arccos x^2}{x^3}$

Проверим, что происходит при замене $x$ на $-x$:
Подставим $-x$ в выражение для $y$:

$$y(-x) = \frac{\arccos(-x)^2}{(-x)^3}$$

Опять-таки, $(-x)^2 = x^2$, и арккосинус от $(-x)^2$ будет равен арккосинусу от $x^2$, то есть:

$$y(-x) = \frac{\arccos x^2}{-x^3}$$

Это можно записать как:

$$y(-x) = -\frac{\arccos x^2}{x^3} = -y(x)$$

Решение:
Так как $y(-x) = -y(x)$, это означает, что функция нечетная.

Ответ: нечетная.

в) $y = \frac{x^4}{\arccos x}$

Проверим, что происходит при замене $x$ на $-x$:
Подставим $-x$ в выражение для $y$:

$$y(-x) = \frac{(-x)^4}{\arccos(-x)}$$

Заметим, что $(-x)^4 = x^4$, так как четная степень числа всегда дает положительное значение. Следовательно, выражение для $y(-x)$ будет:

$$y(-x) = \frac{x^4}{\arccos(-x)}$$

Но мы знаем, что:

$$\arccos(-x) = \pi — \arccos(x)$$

Таким образом:

$$y(-x) = \frac{x^4}{\pi — \arccos x}$$

Это выражение не совпадает с исходным, так как $\pi — \arccos x$ не равно $\arccos x$.

Решение:
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

г) $y = 2x^3 \cdot \arccos x^6$

Проверим, что происходит при замене $x$ на $-x$:
Подставим $-x$ в выражение для $y$:

$$y(-x) = 2(-x)^3 \cdot \arccos((-x)^6)$$

Так как $(-x)^3 = -x^3$ и $(-x)^6 = x^6$ (степень четная), получаем:

$$y(-x) = -2x^3 \cdot \arccos x^6$$

Мы видим, что:

$$y(-x) = -y(x)$$

Решение:
Так как $y(-x) = -y(x)$, это означает, что функция нечетная.

Ответ: нечетная.

Итог:

а) $y = \arccos x^2 + \frac{\pi}{8}$ — четная.

б) $y = \frac{\arccos x^2}{x^3}$ — нечетная.

в) $y = \frac{x^4}{\arccos x}$ — ни четная, ни нечетная.

г) $y = 2x^3 \cdot \arccos x^6$ — нечетная.$$