ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\mathrm{arcctg}(-1)+\mathrm{arctg}(-1)$

б) $\arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2})+\mathrm{arcctg}(-\sqrt{3})$

в) $\mathrm{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})-\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3}$

г) $\arccos (-\frac{1}{2})-\mathrm{arcctg}(-\sqrt{3})$

а)
$\operatorname{arcctg}(-1) + \arctg(-1) = \pi — \operatorname{arcctg} 1 — \arctg 1 =$

$= \pi — \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} — \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2};$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б)
$\arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = -\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi — \operatorname{arcctg} \sqrt{3} =$

$= -\frac{\pi}{4} + \pi — \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{12} + \frac{12\pi}{12} — \frac{2\pi}{12} = \frac{7\pi}{12};$

Ответ: $\frac{7\pi}{12}$.

в)
$\operatorname{arcctg} \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) — \arctg \frac{\sqrt{3}}{3} = \pi — \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} — \arctg \frac{\sqrt{3}}{3} =$

$= \pi — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2};$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г)
$\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) — \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi — \arccos \frac{1}{2} — \left( \pi — \operatorname{arcctg} \sqrt{3} \right) =$

$= \pi — \frac{\pi}{3} — \pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6};$

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.

а)

$\operatorname{arcctg}(-1) + \arctg(-1)$

Шаг 1. Используем свойства обратных тригонометрических функций:

• $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi — \operatorname{arcctg}(x)$
• $\arctg(-x) = -\arctg(x)$

Применим:

$$\operatorname{arcctg}(-1) = \pi — \operatorname{arcctg}(1), \quad \arctg(-1) = -\arctg(1)$$

Шаг 2. Подставим:

$$\operatorname{arcctg}(-1) + \arctg(-1) = \pi — \operatorname{arcctg}(1) — \arctg(1)$$

Шаг 3. Знаем точные значения:

• $\operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$
• $\arctg(1) = \frac{\pi}{4}$

Шаг 4. Подставим значения:

$$= \pi — \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4}$$

Шаг 5. Приведем к общему знаменателю:

$$\pi = \frac{4\pi}{4}, \quad \text{поэтому: } \frac{4\pi}{4} — \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4}$$

Шаг 6. Упростим:

$$\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{2}}$

б)

$$\arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})$$

Шаг 1. Используем свойства:

• $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$
• $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi — \operatorname{arcctg}(x)$

Шаг 2. Применим:

$$= -\arcsin\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \pi — \operatorname{arcctg}(\sqrt{3})$$

Шаг 3. Найдем значения:

• $\arcsin\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\pi}{4}$
• $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$

Шаг 4. Подставим:

$$= -\frac{\pi}{4} + \pi — \frac{\pi}{6}$$

Шаг 5. Приведем все к общему знаменателю 12:

• $-\frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{12}$
• $\pi = \frac{12\pi}{12}$
• $\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12}$

Шаг 6. Сложим:

$$-\frac{3\pi}{12} + \frac{12\pi}{12} — \frac{2\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$$

Ответ: $\boxed{\frac{7\pi}{12}}$

в)

$$\operatorname{arcctg} \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) — \arctg\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)$$

Шаг 1. Используем свойства:

• $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi — \operatorname{arcctg}(x)$

Шаг 2. Подставим:

$$= \pi — \operatorname{arcctg} \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) — \arctg\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)$$

Шаг 3. Найдем значения:

• $\operatorname{arcctg} \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = \frac{\pi}{3}$
• $\arctg\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = \frac{\pi}{6}$

Шаг 4. Подставим:

$$= \pi — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6}$$

Шаг 5. Приведем к общему знаменателю:

$$= \frac{6\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6}$$

Шаг 6. Упростим:

$$\frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{2}}$

г)

$$\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) — \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})$$

Шаг 1. Используем свойства:

• $\arccos(-x) = \pi — \arccos(x)$
• $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi — \operatorname{arcctg}(x)$

Шаг 2. Применим оба свойства:

$$= \pi — \arccos \left( \frac{1}{2} \right) — \left( \pi — \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) \right)$$

Шаг 3. Раскроем скобки:

$$= \pi — \arccos \left( \frac{1}{2} \right) — \pi + \operatorname{arcctg}(\sqrt{3})$$

Шаг 4. Заменим значениями:

• $\arccos \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{3}$
• $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$

Шаг 5. Подставим:

$$= \pi — \frac{\pi}{3} — \pi + \frac{\pi}{6}$$

Шаг 6. Сгруппируем:

$$(\pi — \pi) — \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$$

Шаг 7. Приведем к общему знаменателю:

$$-\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$$

Ответ: $\boxed{-\frac{\pi}{6}}$