ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.39 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти область значений функции:

а) $y = 2 \arctg x$;

$$-\frac{\pi}{2} < \arctg x < \frac{\pi}{2};$$ $$-\pi < 2 \arctg x < \pi;$$

Ответ: $y \in (-\pi; \pi)$.

б) $y = -\frac{1}{2} \arcctg x$;

$$0 < \arcctg x < \pi;$$ $$-\pi < -\arcctg x < 0;$$ $$-\frac{\pi}{2} < -\frac{1}{2} \arcctg x < 0;$$

Ответ: $y \in \left( -\frac{\pi}{2}; 0 \right)$.

в) $y = 1,5 \arcctg x — \frac{\pi}{2}$;

$$0 < \arcctg x < \pi;$$ $$0 < 1,5 \arcctg x < \frac{3\pi}{2};$$ $$-\frac{\pi}{2} < 1,5 \arcctg x — \frac{\pi}{2} < \pi;$$

Ответ: $y \in \left( -\frac{\pi}{2}; \pi \right)$.

г) $y = \pi — 2 \arctg x$;

$$-\frac{\pi}{2} \leqslant \arctg x < \frac{\pi}{2};$$ $$-\pi < -2 \arctg x \leqslant \pi;$$ $$0 < \pi — 2 \arctg x < 2\pi;$$

Ответ: $y \in (0; 2\pi)$.

а) $y = 2 \arctg x$

Рассмотрим выражение $\arctg x$:

• Функция $\arctg x$ (обратный арктангенс) принимает значения в интервале $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. То есть для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется:

  $$-\frac{\pi}{2} < \arctg x < \frac{\pi}{2}$$

Умножим выражение на 2:

• Умножив оба неравенства на 2, получаем:

  $$-\pi < 2 \arctg x < \pi$$

Вывод:

• Поскольку $y = 2 \arctg x$, область значений функции $y$ будет равна интервалу:

  $$y \in (-\pi, \pi)$$

Ответ: $y \in (-\pi; \pi)$.

б) $y = -\frac{1}{2} \arcctg x$

Рассмотрим выражение $\arcctg x$:

• Функция $\arcctg x$ (обратный котангенс) принимает значения на интервале $(0, \pi)$. То есть для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется:

  $$0 < \arcctg x < \pi$$

Умножим выражение на $-\frac{1}{2}$:

• Умножив оба неравенства на $-\frac{1}{2}$, инвертируем знак неравенства:

  $$-\frac{\pi}{2} < -\frac{1}{2} \arcctg x < 0$$

Вывод:

• Поскольку $y = -\frac{1}{2} \arcctg x$, область значений функции $y$ будет равна интервалу:

  $$y \in \left( -\frac{\pi}{2}, 0 \right)$$

Ответ: $y \in \left( -\frac{\pi}{2}; 0 \right)$.

в) $y = 1,5 \arcctg x — \frac{\pi}{2}$

Рассмотрим выражение $\arcctg x$:

• Как и в предыдущем случае, функция $\arcctg x$ принимает значения на интервале $(0, \pi)$. То есть для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется:

  $$0 < \arcctg x < \pi$$

Умножим выражение на $1,5$:

• Умножив оба неравенства на $1,5$, получаем:

  $$0 < 1,5 \arcctg x < \frac{3\pi}{2}$$

Вычитаем $\frac{\pi}{2}$:

• Теперь вычитаем $\frac{\pi}{2}$ из обоих неравенств:

  $$-\frac{\pi}{2} < 1,5 \arcctg x — \frac{\pi}{2} < \pi$$

Вывод:

• Поскольку $y = 1,5 \arcctg x — \frac{\pi}{2}$, область значений функции $y$ будет равна интервалу:

  $$y \in \left( -\frac{\pi}{2}, \pi \right)$$

Ответ: $y \in \left( -\frac{\pi}{2}; \pi \right)$.

г) $y = \pi — 2 \arctg x$

Рассмотрим выражение $\arctg x$:

• Как и в пункте а), функция $\arctg x$ принимает значения в интервале $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$. То есть для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется:

  $$-\frac{\pi}{2} \leq \arctg x < \frac{\pi}{2}$$

Умножим выражение на $-2$:

• Умножив оба неравенства на $-2$, инвертируем знак неравенства:

  $$-\pi \leq -2 \arctg x < \pi$$

Вычитаем результат из $\pi$:

• Теперь вычитаем $-2 \arctg x$ из $\pi$:

  $$0 < \pi — 2 \arctg x < 2\pi$$

Вывод:

• Поскольку $y = \pi — 2 \arctg x$, область значений функции $y$ будет равна интервалу:

  $$y \in (0, 2\pi)$$

Ответ: $y \in (0; 2\pi)$.

Итоговые ответы:

а) $y \in (-\pi; \pi)$

б) $y \in \left( -\frac{\pi}{2}; 0 \right)$

в) $y \in \left( -\frac{\pi}{2}; \pi \right)$

г) $y \in (0; 2\pi)$