ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.41 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = \arctg(x-1) — \frac{\pi}{2}$;

б) $y = \operatorname{arcctg}(x+2) + \frac{\pi}{3}$

а) $y = \arctg(x-1) — \frac{\pi}{2}$;

Построим график функции $y = \arctg x$;

Переместим его на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс;

Переместим его на $\frac{\pi}{2}$ единиц вниз вдоль оси ординат:

б) $y = \operatorname{arcctg}(x+2) + \frac{\pi}{3}$;

Построим график функции $y = \operatorname{arcctg} x$;

Переместим его на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс;

Переместим его на $\frac{\pi}{3}$ единиц вверх вдоль оси ординат:

а) $y = \arctg(x — 1) — \frac{\pi}{2}$

Построим график функции $y = \arctg x$:

• Функция $y = \arctg x$ (обратный арктангенс) определена на всем множестве действительных чисел $x \in \mathbb{R}$.
• График функции $y = \arctg x$ имеет вертикальные асимптоты при $x \to \pm \infty$, стремясь к значениям $y = \frac{\pi}{2}$ для $x \to +\infty$ и $y = -\frac{\pi}{2}$ для $x \to -\infty$.
• График выглядит как гладкая кривая, проходящая через начало координат $(0, 0)$, и асимптотически приближается к прямым $y = \frac{\pi}{2}$ и $y = -\frac{\pi}{2}$.

Переместим график на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс:

• Это означает замену $x$ на $x — 1$ в функции, то есть вместо $y = \arctg x$ получаем:

  $$y = \arctg(x — 1)$$

• Сдвиг графика на 1 единицу вправо приводит к тому, что точка, где раньше график пересекал ось $x$ (в точке $(0, 0)$), теперь будет находиться в точке $(1, 0)$.
• Это сдвиг на 1 единицу вправо вдоль оси $x$, при этом сама форма графика остаётся неизменной.

Переместим график на $\frac{\pi}{2}$ единиц вниз вдоль оси ординат:

• Это означает вычитание $\frac{\pi}{2}$ из выражения для $y$, то есть:

  $$y = \arctg(x — 1) — \frac{\pi}{2}$$

• Сдвиг графика вниз на $\frac{\pi}{2}$ единиц приводит к тому, что каждая точка на графике сдвигается вниз на $\frac{\pi}{2}$. Например, точка пересечения оси $x$ из $(1, 0)$ сдвигается в точку $(1, -\frac{\pi}{2})$.
• Это сдвигает весь график вниз, но форма графика остается неизменной.

б) $y = \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3}$

Построим график функции $y = \operatorname{arcctg} x$:

• Функция $y = \operatorname{arcctg} x$ (обратный котангенс) также определена на всем множестве действительных чисел $x \in \mathbb{R}$.
• График функции $y = \operatorname{arcctg} x$ имеет вертикальные асимптоты при $x \to \pm \infty$, стремясь к значениям $y = 0$ для $x \to +\infty$ и $y = \pi$ для $x \to -\infty$.
• График представляет собой гладкую кривую, которая асимптотически приближается к прямым $y = 0$ и $y = \pi$, проходя через точку $(0, \frac{\pi}{2})$.

Переместим график на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс:

• Это означает замену $x$ на $x + 2$ в функции, то есть:

  $$y = \operatorname{arcctg}(x + 2)$$

• Сдвиг графика на 2 единицы влево приводит к тому, что точка пересечения оси $x$ из $(0, \frac{\pi}{2})$ сдвигается в точку $(-2, \frac{\pi}{2})$.
• График сдвигается влево, при этом форма графика остается неизменной.

Переместим график на $\frac{\pi}{3}$ единиц вверх вдоль оси ординат:

• Это означает добавление $\frac{\pi}{3}$ к выражению для $y$, то есть:

  $$y = \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3}$$

• Сдвиг графика вверх на $\frac{\pi}{3}$ единиц приводит к тому, что каждая точка на графике сдвигается вверх на $\frac{\pi}{3}$. Например, точка пересечения оси $x$ сдвигается в точку $(-2, \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = (-2, \frac{5\pi}{6})$.
• Это сдвигает весь график вверх, но форма графика остаётся неизменной.