ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.48 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sin\left(\arctg \frac{3}{4}\right) = \sin t$;

Число $t$ находится в I или IV четверти:

$$-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2};$$ $$\cos t > 0;$$

Значение косинуса:

$$\cos\left(\arctg \frac{3}{4}\right) = +\sqrt{\frac{1}{1 + \tg^2\left(\arctg \frac{3}{4}\right)}};$$ $$\cos t = \sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{16}{16} + \frac{9}{16}}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$

Значение синуса:

$$\sin\left(\arctg \frac{3}{4}\right) = \tg\left(\arctg \frac{3}{4}\right) \cdot \cos\left(\arctg \frac{3}{4}\right);$$ $$\sin t = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5};$$

Ответ: $\frac{3}{5}$.

б) $\cos\left(\arcctg \frac{12}{5}\right) = \cos t$;

Число $t$ находится в I или II четверти:

$$0 < t < \pi;$$ $$\sin t > 0;$$

Значение синуса:

$$\sin\left(\arcctg \frac{12}{5}\right) = +\sqrt{\frac{1}{1 + \ctg^2\left(\arcctg \frac{12}{5}\right)}};$$ $$\sin t = \sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{25}{25} + \frac{144}{25}}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13};$$

Значение косинуса:

$$\cos\left(\arcctg \frac{12}{5}\right) = \ctg\left(\arcctg \frac{12}{5}\right) \cdot \sin\left(\arcctg \frac{12}{5}\right);$$ $$\cos t = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13};$$

Ответ: $\frac{12}{13}$.

в) $\sin\left(\arcctg \left(-\frac{4}{3}\right)\right) = \sin t$;

Число $t$ находится в I или II четверти:

$$0 < t < \pi;$$ $$\sin t > 0;$$

Значение синуса:

$$\sin\left(\arcctg \left(-\frac{4}{3}\right)\right) = +\sqrt{\frac{1}{1 + \ctg^2\left(\arcctg \left(-\frac{4}{3}\right)\right)}};$$ $$\sin t = \sqrt{\frac{1}{1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{9}{9} + \frac{16}{9}}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5};$$

Ответ: $\frac{3}{5}$.

г) $\cos\left(\arctg \left(-\frac{5}{12}\right)\right) = \cos t$;

Число $t$ находится в I или IV четверти:

$$-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2};$$ $$\cos t > 0;$$

Значение косинуса:

$$\cos\left(\arctg \left(-\frac{5}{12}\right)\right) = +\sqrt{\frac{1}{1 + \tg^2\left(\arctg \left(-\frac{5}{12}\right)\right)}};$$ $$\cos t = \sqrt{\frac{1}{1 + \left(-\frac{5}{12}\right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{144}{144} + \frac{25}{144}}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13};$$

Ответ: $\frac{12}{13}$.

а) $\sin\left(\arctg \frac{3}{4}\right) = \sin t$

Рассмотрим $t = \arctg \frac{3}{4}$:
Арктангенс $\arctg$ возвращает угол $t$, для которого $\tan t = \frac{3}{4}$. Таким образом:

$$\tan t = \frac{3}{4}.$$

Это означает, что у нас есть прямоугольный треугольник, у которого катет, противолежащий углу $t$, равен 3, а прилежащий катет равен 4.

Находим гипотенузу:
Для нахождения синуса и косинуса нужно вычислить гипотенузу $g$ этого прямоугольного треугольника. Используем теорему Пифагора:

$$g = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$

Значение косинуса:
Косинус угла $t$ можно найти как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$$\cos t = \frac{4}{5}.$$

Значение синуса:
Синус угла $t$ можно найти как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$$\sin t = \frac{3}{5}.$$

Ответ:

$$\sin\left(\arctg \frac{3}{4}\right) = \frac{3}{5}.$$

б) $\cos\left(\arcctg \frac{12}{5}\right) = \cos t$

Рассмотрим $t = \arcctg \frac{12}{5}$:
Арккотангенс $\arcctg$ возвращает угол $t$, для которого $\cot t = \frac{12}{5}$. То есть, котангенс угла $t$ равен $\frac{12}{5}$, что означает, что в прямоугольном треугольнике противолежащий катет равен 5, а прилежащий катет — 12.

Находим гипотенузу:
Используем теорему Пифагора для вычисления гипотенузы $g$:

$$g = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13.$$

Значение синуса:
Синус угла $t$ можно найти как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$$\sin t = \frac{5}{13}.$$

Значение косинуса:
Косинус угла $t$ можно найти как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$$\cos t = \frac{12}{13}.$$

Ответ:

$$\cos\left(\arcctg \frac{12}{5}\right) = \frac{12}{13}.$$

в) $\sin\left(\arcctg \left(-\frac{4}{3}\right)\right) = \sin t$

Рассмотрим $t = \arcctg \left(-\frac{4}{3}\right)$:
Арккотангенс $\arcctg$ возвращает угол $t$, для которого $\cot t = -\frac{4}{3}$. Это означает, что в прямоугольном треугольнике противолежащий катет равен 3 (в данной ситуации катет будет отрицательным, так как котангенс отрицателен), а прилежащий катет равен -4.

Находим гипотенузу:
Для вычисления гипотенузы $g$ используем теорему Пифагора:

$$g = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$

Значение синуса:
Синус угла $t$ можно найти как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$$\sin t = \frac{3}{5}.$$

Ответ:

$$\sin\left(\arcctg \left(-\frac{4}{3}\right)\right) = \frac{3}{5}.$$

г) $\cos\left(\arctg \left(-\frac{5}{12}\right)\right) = \cos t$

Рассмотрим $t = \arctg \left(-\frac{5}{12}\right)$:
Арктангенс $\arctg$ возвращает угол $t$, для которого $\tan t = -\frac{5}{12}$. Это означает, что в прямоугольном треугольнике противолежащий катет равен -5, а прилежащий катет равен 12.

Находим гипотенузу:
Для нахождения гипотенузы $g$ используем теорему Пифагора:

$$g = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13.$$

Значение косинуса:
Косинус угла $t$ можно найти как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$$\cos t = \frac{12}{13}.$$

Ответ:

$$\cos\left(\arctg \left(-\frac{5}{12}\right)\right) = \frac{12}{13}.$$

Итоговые ответы:

а) $\frac{3}{5}$

б) $\frac{12}{13}$

в) $\frac{3}{5}$

г) $\frac{12}{13}$