ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти область значений функции:

а) $y = 2 \arcsin x$;

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2};$$ $$-\pi \leq 2 \arcsin x \leq \pi;$$

Ответ: $y \in [-\pi; \pi]$.

б) $y = -4 \arcsin x$;

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2};$$ $$-2\pi \leq 4 \arcsin x \leq 2\pi;$$ $$-2\pi \leq -4 \arcsin x \leq 2\pi;$$

Ответ: $y \in [-2\pi; 2\pi]$.

в) $y = \arcsin x + \frac{\pi}{2}$;

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2};$$ $$0 \leq \arcsin x + \frac{\pi}{2} \leq \pi;$$

Ответ: $y \in [0; \pi]$.

г) $y = \pi — 2 \arcsin x$;

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2};$$ $$-\pi \leq -2 \arcsin x \leq \pi;$$ $$0 \leq \pi — 2 \arcsin x \leq 2\pi;$$

Ответ: $y \in [0; 2\pi]$.

а) $y = 2 \arcsin x$

Определение области значений для $\arcsin x$:

• $\arcsin x$ — это функция, которая возвращает угол $y$, такой что $\sin y = x$, при этом область значений этой функции ограничена интервалом $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$.
• Следовательно, для $\arcsin x$ получаем:

  $$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2}.$$

Модификация функции:

• Функция $y = 2 \arcsin x$ умножает $\arcsin x$ на 2. Таким образом, мы должны умножить каждый предел на 2:

  $$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2}.$$

  Умножаем на 2:

  $$-\pi \leq 2 \arcsin x \leq \pi.$$

Ответ:
Таким образом, область значений функции $y = 2 \arcsin x$ — это интервал $[-\pi; \pi]$.

Ответ: $y \in [-\pi; \pi]$.

б) $y = -4 \arcsin x$

Определение области значений для $\arcsin x$:

• Как и в предыдущем пункте, $\arcsin x$ возвращает значения на интервале $-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2}$.

Модификация функции:

• В данном случае функция $y = -4 \arcsin x$ умножает $\arcsin x$ на -4. Умножение на отрицательное число инвертирует знак интервала. Таким образом, нужно умножить каждый предел на -4:

  $$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2}.$$

  Умножаем на -4:

  $$-4 \times \frac{\pi}{2} \leq -4 \arcsin x \leq 4 \times \frac{\pi}{2},$$

  что даёт:

  $$-2\pi \leq -4 \arcsin x \leq 2\pi.$$

Ответ:
Таким образом, область значений функции $y = -4 \arcsin x$ — это интервал $[-2\pi; 2\pi]$.

Ответ: $y \in [-2\pi; 2\pi]$.

в) $y = \arcsin x + \frac{\pi}{2}$

Определение области значений для $\arcsin x$:

• Как и ранее, $\arcsin x$ принимает значения в интервале $-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2}$.

Модификация функции:

• В данном случае к значению $\arcsin x$ прибавляется $\frac{\pi}{2}$. Это сдвигает все значения функции вверх на $\frac{\pi}{2}$. Для определения области значений нужно прибавить $\frac{\pi}{2}$ к каждому пределу интервала:

  $$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2}.$$

  Прибавляем $\frac{\pi}{2}$:

  $$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \leq \arcsin x + \frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2},$$

  что даёт:

  $$0 \leq \arcsin x + \frac{\pi}{2} \leq \pi.$$

Ответ:
Таким образом, область значений функции $y = \arcsin x + \frac{\pi}{2}$ — это интервал $[0; \pi]$.

Ответ: $y \in [0; \pi]$.

г) $y = \pi — 2 \arcsin x$

Определение области значений для $\arcsin x$:

• Как и в предыдущих пунктах, $\arcsin x$ принимает значения на интервале $-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2}$.

Модификация функции:

• Функция $y = \pi — 2 \arcsin x$ включает в себя два этапа:
  1. Умножение $\arcsin x$ на -2, что инвертирует знак и удваивает значения.
  2. Добавление $\pi$ к результату, что сдвигает значения функции вверх на $\pi$.
• Первый шаг: умножаем на -2:

  $$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2},$$

  умножаем на -2:

  $$-\pi \leq -2 \arcsin x \leq \pi.$$

• Второй шаг: прибавляем $\pi$ ко всем значениям:

  $$\pi + (-\pi) \leq \pi — 2 \arcsin x \leq \pi + \pi,$$

  что даёт:

  $$0 \leq \pi — 2 \arcsin x \leq 2\pi.$$

Ответ:
Таким образом, область значений функции $y = \pi — 2 \arcsin x$ — это интервал $[0; 2\pi]$.

Ответ: $y \in [0; 2\pi]$.

Итоговые ответы:

а) $y \in [-\pi; \pi]$

б) $y \in [-2\pi; 2\pi]$

в) $y \in [0; \pi]$

г) $y \in [0; 2\pi]$