ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.51 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y=\arccos x+\arccos (-x)$

б) $y=\arccos \frac{1}{x}+\arccos (-\frac{1}{x})$

в) $y=\mathrm{arcctg}x+\mathrm{arcctg}(-x)$

г) $y=\mathrm{arcctg}\sqrt{x}+\mathrm{arcctg}(-\sqrt{x})$$$

а) $y = \arccos x + \arccos(-x) = \arccos x + \pi — \arccos x = \pi$;

Область определения:

$$-1 \leq x \leq 1;$$

График функции:

б) $y = \arccos \frac{1}{x} + \arccos\left(-\frac{1}{x}\right) = \arccos \frac{1}{x} + \pi — \arccos \frac{1}{x} = \pi$;

Область определения:

$$-1 \leq \frac{1}{x} \leq 1;$$ $$x \leq -1 \text{ и } x \geq 1;$$

График функции:

в) $y = \operatorname{arcctg} x + \operatorname{arcctg}(-x) = \operatorname{arcctg} x + \pi — \operatorname{arcctg} x = \pi$;

Область определения:

$$x \in \mathbb{R};$$

График функции:

г) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x} + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{x}) = \operatorname{arcctg} \sqrt{x} + \pi — \operatorname{arcctg} \sqrt{x} = \pi$;

Область определения:

$$\sqrt{x} \in \mathbb{R};$$ $$x \geq 0;$$

График функции:

а) $y = \arccos x + \arccos(-x) = \arccos x + \pi — \arccos x = \pi$

Область определения:

• Арккосинус $\arccos x$ определен только для значений $x \in [-1, 1]$, так как $\cos \theta$ может принимать значения только в пределах от -1 до 1.
• Следовательно, область определения данной функции:

$$-1 \leq x \leq 1.$$

График функции:

Рассмотрим выражение:

$$y = \arccos x + \arccos(-x).$$

Сначала, по свойствам арккосинуса, знаем, что:

$$\arccos(-x) = \pi — \arccos(x).$$

Таким образом:

$$y = \arccos x + \pi — \arccos x = \pi.$$

Это означает, что функция всегда равна $\pi$ для всех значений $x \in [-1, 1]$. График этой функции представляет собой горизонтальную прямую на уровне $y = \pi$ в пределах области определения.

б) $y = \arccos \frac{1}{x} + \arccos\left(-\frac{1}{x}\right) = \arccos \frac{1}{x} + \pi — \arccos \frac{1}{x} = \pi$

Область определения:

• В выражении $\arccos \frac{1}{x}$, для того чтобы арккосинус был определен, значение $\frac{1}{x}$ должно лежать в пределах от -1 до 1. То есть:

$$-1 \leq \frac{1}{x} \leq 1.$$

Это означает, что:

$$-1 \leq \frac{1}{x} \leq 1 \quad \Rightarrow \quad x \leq -1 \text{ и } x \geq 1.$$

Следовательно, область определения функции:

$$x \leq -1 \text{ и } x \geq 1.$$

График функции:

Рассмотрим выражение:

$$y = \arccos \frac{1}{x} + \arccos\left(-\frac{1}{x}\right).$$

Используем тот же метод, что и в предыдущем случае:

$$\arccos\left(-\frac{1}{x}\right) = \pi — \arccos \frac{1}{x}.$$

Таким образом:

$$y = \arccos \frac{1}{x} + \pi — \arccos \frac{1}{x} = \pi.$$

Это означает, что функция всегда равна $\pi$ для всех значений $x \leq -1$ и $x \geq 1$. График этой функции представляет собой горизонтальную прямую на уровне $y = \pi$ для $x \leq -1$ и $x \geq 1$.

в) $y = \operatorname{arcctg} x + \operatorname{arcctg}(-x) = \operatorname{arcctg} x + \pi — \operatorname{arcctg} x = \pi$

Область определения:

• Арккотангенс $\operatorname{arcctg} x$ определен для всех $x \in \mathbb{R}$, то есть область определения этой функции — вся действительная прямая:

$$x \in \mathbb{R}.$$

График функции:

Рассмотрим выражение:

$$y = \operatorname{arcctg} x + \operatorname{arcctg}(-x).$$

По свойствам арккотангенса:

$$\operatorname{arcctg}(-x) = \pi — \operatorname{arcctg}(x).$$

Таким образом:

$$y = \operatorname{arcctg} x + \pi — \operatorname{arcctg} x = \pi.$$

Это означает, что функция всегда равна $\pi$ для всех значений $x \in \mathbb{R}$. График этой функции представляет собой горизонтальную прямую на уровне $y = \pi$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

г) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x} + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{x}) = \operatorname{arcctg} \sqrt{x} + \pi — \operatorname{arcctg} \sqrt{x} = \pi$

Область определения:

• Арккотангенс $\operatorname{arcctg} \sqrt{x}$ определен только для $x \geq 0$, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел. Следовательно, область определения:

$$x \geq 0.$$

График функции:

Рассмотрим выражение:

$$y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x} + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{x}).$$

По свойствам арккотангенса:

$$\operatorname{arcctg}(-\sqrt{x}) = \pi — \operatorname{arcctg}(\sqrt{x}).$$

Таким образом:

$$y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x} + \pi — \operatorname{arcctg} \sqrt{x} = \pi.$$

Это означает, что функция всегда равна $\pi$ для всех значений $x \geq 0$. График этой функции представляет собой горизонтальную прямую на уровне $y = \pi$ для $x \geq 0$.

Итоговые ответы:

а) $y = \arccos x + \arccos(-x) = \pi$, область определения: $-1 \leq x \leq 1$, график: горизонтальная прямая $y = \pi$.

б) $y = \arccos \frac{1}{x} + \arccos\left(-\frac{1}{x}\right) = \pi$, область определения: $x \leq -1 \text{ и } x \geq 1$, график: горизонтальная прямая $y = \pi$.

в) $y = \operatorname{arcctg} x + \operatorname{arcctg}(-x) = \pi$, область определения: $x \in \mathbb{R}$, график: горизонтальная прямая $y = \pi$.

г) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x} + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{x}) = \pi$, область определения: $x \geq 0$, график: горизонтальная прямая $y = \pi$.