ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.52 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y=\sin (\arccos x)$

б) $y=\mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}x)$

в) $y=\cos (\arcsin x)$

г) $y=\mathrm{ctg}(\mathrm{arctg}x)$

а) $y = \sin(\arccos x) = \sqrt{1 — \cos^2(\arccos x)} = \sqrt{1 — x^2}$;
$y = \sqrt{1 — x^2}$ — дуга полуокружности:

$x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $R = 1$;

График функции:

б) $y = \operatorname{tg}(\operatorname{arcctg} x) = \frac{1}{\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg} x)} = \frac{1}{x}$;
$y = \frac{1}{x}$ — уравнение гиперболы:

$x_0 = 0$, $y_0 = 0$;

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0.5 & 1 & 2 \\ \hline y & 2 & 1 & 0.5 \\ \hline \end{array}$$

График функции:$$

в) $y = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 — \sin^2(\arcsin x)} = \sqrt{1 — x^2}$;
$y = \sqrt{1 — x^2}$ — дуга полуокружности:

$x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $R = 1$;

График функции:

г) $y = \operatorname{ctg}(\operatorname{arctg} x) = \frac{1}{\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x)} = \frac{1}{x}$;
$y = \frac{1}{x}$ — уравнение гиперболы:

$x_0 = 0$, $y_0 = 0$;

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0.5 & 1 & 2 \\ \hline y & 2 & 1 & 0.5 \\ \hline \end{array}$$

График функции:$$

а) $y = \sin(\arccos x) = \sqrt{1 — \cos^2(\arccos x)} = \sqrt{1 — x^2}$

Область определения:

• Арккосинус $\arccos x$ определен только для значений $x \in [-1, 1]$, так как $\cos \theta$ принимает значения в пределах от -1 до 1.
• Следовательно, область определения функции $y = \sin(\arccos x)$ также будет:

$$-1 \leq x \leq 1.$$

График функции:

• Функция $y = \sin(\arccos x)$ выражается как $y = \sqrt{1 — x^2}$, что является уравнением полуокружности радиусом 1, с центром в начале координат.
• Это выражение описывает верхнюю полукруглую часть окружности с радиусом 1, которая пересекает ось $x$ в точках $x = -1$ и $x = 1$.
• График будет дугой полуокружности от точки $(-1, 0)$ до точки $(1, 0)$, с вершиной в точке $(0, 1)$.

б) $y = \operatorname{tg}(\operatorname{arcctg} x) = \frac{1}{\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg} x)} = \frac{1}{x}$

Область определения:

• Арккотангенс $\operatorname{arcctg} x$ определен для всех действительных чисел $x$, кроме нуля.
• Поскольку $\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg} x)$ равно $\frac{1}{x}$, область определения будет:

$$x \in \mathbb{R}, \quad x \neq 0.$$

То есть, функция определена для всех действительных значений $x$, за исключением $x = 0$.

График функции:

• График функции $y = \frac{1}{x}$ представляет собой гиперболу.
• Уравнение гиперболы имеет асимптоты, проходящие через оси $x$ и $y$, а сама гипербола будет располагаться в первой и третьей четвертях.
• График функции $y = \frac{1}{x}$ будет иметь значения, стремящиеся к бесконечности при $x \to 0$, и $y$ будет стремиться к нулю при $x \to \infty$ или $x \to -\infty$.

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0.5 & 1 & 2 \\ \hline y & 2 & 1 & 0.5 \\ \hline \end{array}$$

Это таблица значений функции $y = \frac{1}{x}$, где для различных значений $x$ мы видим соответствующие значения $y$.

в) $y = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 — \sin^2(\arcsin x)} = \sqrt{1 — x^2}$

Область определения:

• Арксинус $\arcsin x$ определен только для значений $x \in [-1, 1]$, так как $\sin \theta$ может принимать значения только в пределах от -1 до 1.
• Следовательно, область определения функции $y = \cos(\arcsin x)$ будет:

$$-1 \leq x \leq 1.$$

График функции:

• Функция $y = \cos(\arcsin x)$ выражается как $y = \sqrt{1 — x^2}$, что также является уравнением полуокружности радиусом 1.
• Это аналогично функции из пункта а), поскольку по сути мы также описываем верхнюю часть окружности с радиусом 1, где значения $y$ могут быть положительными от 0 до 1 для $x \in [-1, 1]$.
• График будет представлять собой дугу полуокружности, которая пересекает ось $x$ в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, а вершина будет в точке $(0, 1)$.

г) $y = \operatorname{ctg}(\operatorname{arctg} x) = \frac{1}{\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x)} = \frac{1}{x}$

Область определения:

• Арктангенс $\operatorname{arctg} x$ определен для всех $x \in \mathbb{R}$, а котангенс $\operatorname{ctg} x$ также определен для всех $x \in \mathbb{R}$, кроме $x = 0$.
• Следовательно, область определения функции будет:

$$x \in \mathbb{R}, \quad x \neq 0.$$

График функции:

• График функции $y = \frac{1}{x}$ аналогичен графику, который был рассмотрен в пункте б), так как $y = \frac{1}{x}$.
• Это также гипербола, которая имеет асимптоты через оси $x$ и $y$.
• График функции $y = \frac{1}{x}$ будет находиться в первой и третьей четвертях, стремясь к бесконечности при $x \to 0$ и стремясь к нулю при $x \to \infty$ или $x \to -\infty$.

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0.5 & 1 & 2 \\ \hline y & 2 & 1 & 0.5 \\ \hline \end{array}$$

Это таблица значений функции $y = \frac{1}{x}$, аналогичная таблице из пункта б).

Итоговые ответы:

а) $y = \sin(\arccos x) = \sqrt{1 — x^2}$, область определения: $-1 \leq x \leq 1$, график: дуга полуокружности радиусом 1.

б) $y = \operatorname{tg}(\operatorname{arcctg} x) = \frac{1}{x}$, область определения: $x \neq 0$, график: гипербола $y = \frac{1}{x}$.

в) $y = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 — x^2}$, область определения: $-1 \leq x \leq 1$, график: дуга полуокружности радиусом 1.

г) $y = \operatorname{ctg}(\operatorname{arctg} x) = \frac{1}{x}$, область определения: $x \neq 0$, график: гипербола $y = \frac{1}{x}$.