ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.59 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) arccosx = arctgx;

б) arccosx = arcsinx;

в) arcctgx = arctgx;

r) arcsinx = arcctgx.

При решении используются формулы, доказанные в упражнении 21.49;

а) $\arccos x = \arctg x$;

Равносильно уравнению:
$\tg(\arccos x) = \tg(\arctg x);$
$\frac{\sqrt{1 — x^2}}{x} = x;$
$\sqrt{1 — x^2} = x^2;$
$1 — x^2 = x^4;$

Пусть $y = x^2$, тогда:
$y^2 + y — 1 = 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 1 = 1 + 4 = 5, \text{ тогда: }$
$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2} < 0 \text{ и } y_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2};$
$x = \sqrt{y_2} = \sqrt{\frac{\sqrt{5} — 1}{2}};$

Ответ: $\sqrt{\frac{\sqrt{5} — 1}{2}}$.

б) $\arccos x = \arcsin x$;

Равносильно уравнению:
$\cos(\arccos x) = \cos(\arcsin x);$
$x = \sqrt{1 — x^2};$
$x^2 = 1 — x^2;$
$2x^2 = 1;$
$x^2 = \frac{1}{2};$
$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2};$

Уравнение имеет решения при:
$x \geq 0;$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) $\arcctg x = \arctg x$;

Равносильно уравнению:
$\sin(\arcctg x) = \sin(\arctg x);$
$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}};$
$x = 1;$

Ответ: 1.

г) $\arcsin x = \arcctg x$;

Равносильно уравнению:
$\ctg(\arcsin x) = \ctg(\arcctg x);$
$\frac{1}{\tg(\arcsin x)} = x;$
$\frac{\sqrt{1 — x^2}}{x} = x;$
$\sqrt{1 — x^2} = x^2;$
$1 — x^2 = x^4;$

Пусть $y = x^2$, тогда:
$y^2 + y — 1 = 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 1 = 1 + 4 = 5, \text{ тогда: }$
$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2} < 0 \text{ и } y_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2};$
$x = \sqrt{y_2} = \sqrt{\frac{\sqrt{5} — 1}{2}};$

Ответ: $\sqrt{\frac{\sqrt{5} — 1}{2}}$.

а) $\arccos x = \arctg x$;

Шаг 1: Применение тригонометрических функций

Рассмотрим уравнение:

$$\arccos x = \arctg x.$$

Используем свойство взаимной обратимости тригонометрических функций. Мы можем записать:

$$\tg(\arccos x) = \tg(\arctg x).$$

Так как $\arctg x$ — это угол, тангенс которого равен $x$, то получаем:

$$\tg(\arccos x) = x.$$

Теперь найдём выражение для $\tg(\arccos x)$. Для этого вспомним, что:

$$\cos(\arccos x) = x,$$

и используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.$$

Для угла $\arccos x$ это даёт:

$$\sin^2 (\arccos x) = 1 — x^2.$$

Следовательно, $\sin(\arccos x) = \sqrt{1 — x^2}$. Теперь, используя определение тангенса:

$$\tg(\arccos x) = \frac{\sin(\arccos x)}{\cos(\arccos x)} = \frac{\sqrt{1 — x^2}}{x}.$$

Таким образом, уравнение $\tg(\arccos x) = \tg(\arctg x)$ принимает вид:

$$\frac{\sqrt{1 — x^2}}{x} = x.$$

Шаг 2: Умножение на $x$

Умножим обе части уравнения на $x$ (при $x \neq 0$):

$$\sqrt{1 — x^2} = x^2.$$

Шаг 3: Возведение в квадрат

Теперь возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$$1 — x^2 = x^4.$$

Приводим уравнение к стандартному виду:

$$1 — x^2 — x^4 = 0.$$

Или:

$$x^4 + x^2 — 1 = 0.$$

Шаг 4: Замена переменной

Для решения этого уравнения введём замену $y = x^2$. Тогда у нас получается квадратное уравнение относительно $y$:

$$y^2 + y — 1 = 0.$$

Шаг 5: Нахождение дискриминанта

Для решения квадратного уравнения находим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 1$, $b = 1$, $c = -1$. Подставляем значения:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5.$$

Шаг 6: Нахождение корней уравнения

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения:

$$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2} < 0 \quad (\text{не подходит, так как } x^2 \geq 0),$$ $$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}.$$

Так как $y = x^2$, то $x = \sqrt{y_2}$. Таким образом, получаем:

$$x = \sqrt{\frac{\sqrt{5} — 1}{2}}.$$

Ответ: $x = \sqrt{\frac{\sqrt{5} — 1}{2}}$.

б) $\arccos x = \arcsin x$;

Шаг 1: Применение тригонометрических функций

Рассмотрим уравнение:

$$\arccos x = \arcsin x.$$

Используем свойство взаимной обратимости тригонометрических функций. Мы можем записать:

$$\cos(\arccos x) = \cos(\arcsin x).$$

Здесь $\cos(\arccos x) = x$, а $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 — x^2}$, так как:

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \quad \text{для любого угла} \ \theta.$$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$$x = \sqrt{1 — x^2}.$$

Шаг 2: Возведение в квадрат

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

$$x^2 = 1 — x^2.$$

Переносим $x^2$ на одну сторону:

$$2x^2 = 1.$$

Делим обе части на 2:

$$x^2 = \frac{1}{2}.$$

Таким образом:

$$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 3: Условие на знак

Так как $\arccos x$ и $\arcsin x$ имеют ограничения на диапазон значений, то $x$ должен быть в интервале $[-1, 1]$. Но в данном случае, для того чтобы значения функций совпали, необходимо, чтобы $x \geq 0$.

Ответ: $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) $\arcctg x = \arctg x$;

Шаг 1: Применение тригонометрических функций

Рассмотрим уравнение:

$$\arcctg x = \arctg x.$$

Используем свойство взаимной обратимости тригонометрических функций. Мы можем записать:

$$\sin(\arcctg x) = \sin(\arctg x).$$

Здесь $\sin(\arcctg x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ и $\sin(\arctg x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.

Шаг 2: Приравнивание аргументов

Приравниваем обе части:

$$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}.$$

Теперь сокращаем на $\sqrt{1 + x^2}$ (при $x \neq 0$):

$$1 = x.$$

Ответ: $x = 1$.

г) $\arcsin x = \arcctg x$;

Шаг 1: Применение тригонометрических функций

Рассмотрим уравнение:

$$\arcsin x = \arcctg x.$$

Используем свойство взаимной обратимости тригонометрических функций. Мы можем записать:

$$\ctg(\arcsin x) = \ctg(\arcctg x).$$

Для $\arcsin x$ мы имеем:

$$\ctg(\arcsin x) = \frac{1}{\tan(\arcsin x)} = \frac{\sqrt{1 — x^2}}{x}.$$

Для $\arcctg x$:

$$\ctg(\arcctg x) = x.$$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$$\frac{\sqrt{1 — x^2}}{x} = x.$$

Шаг 2: Умножение на $x$

Умножим обе части уравнения на $x$ (при $x \neq 0$):

$$\sqrt{1 — x^2} = x^2.$$

Шаг 3: Возведение в квадрат

Теперь возведем обе части в квадрат:

$$1 — x^2 = x^4.$$

Приводим уравнение к стандартному виду:

$$x^4 + x^2 — 1 = 0.$$

Или:

$$x^4 + x^2 — 1 = 0.$$

Шаг 4: Замена переменной

Для решения этого уравнения введём замену $y = x^2$. Тогда у нас получается квадратное уравнение относительно $y$:

$$y^2 + y — 1 = 0.$$

Шаг 5: Нахождение дискриминанта

Для решения квадратного уравнения находим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 1$, $b = 1$, $c = -1$. Подставляем значения:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5.$$

Шаг 6: Нахождение корней уравнения

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения:

$$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2} < 0 \quad (\text{не подходит, так как } x^2 \geq 0),$$ $$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}.$$

Так как $y = x^2$, то $x = \sqrt{y_2}$. Таким образом, получаем:

$$x = \sqrt{\frac{\sqrt{5} — 1}{2}}.$$

Ответ: $x = \sqrt{\frac{\sqrt{5} — 1}{2}}$.