ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.62 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $8 \arcsin^2 x + 2\pi \cdot \arcsin x < \pi^2$;

Пусть $y = \arcsin x$, тогда:

$$8y^2 + 2\pi \cdot y — \pi^2 < 0;$$ $$D = (2\pi)^2 + 4 \cdot 8 \cdot \pi^2 = 4\pi^2 + 32\pi^2 = 36\pi^2, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-2\pi — 6\pi}{2 \cdot 8} = \frac{-8\pi}{16} = -\frac{\pi}{2};$$ $$y_2 = \frac{-2\pi + 6\pi}{2 \cdot 8} = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4};$$ $$\left( y + \frac{\pi}{2} \right) \left( y — \frac{\pi}{4} \right) < 0;$$ $$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{4};$$

Первое значение:

$$\arcsin x > -\frac{\pi}{2};$$ $$\arcsin x \neq \frac{\pi}{2};$$ $$\sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) \neq x;$$ $$-1 \neq x;$$

Второе значение:

$$\arcsin x < \frac{\pi}{4};$$ $$\sin \frac{\pi}{4} > x;$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2} > x;$$

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq x \leq 1;$$

Ответ: $-1 < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) $18 \arctg^2 x — 3\pi \cdot \arctg x \geq \pi^2$;

Пусть $y = \arctg x$, тогда:

$$18y^2 — 3\pi \cdot y — \pi^2 \geq 0;$$ $$D = (3\pi)^2 + 4 \cdot 18 \cdot \pi^2 = 9\pi^2 + 72\pi^2 = 81\pi^2, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{3\pi — 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{-6\pi}{36} = -\frac{\pi}{6};$$ $$y_2 = \frac{3\pi + 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3};$$ $$\left( y + \frac{\pi}{6} \right) \left( y — \frac{\pi}{3} \right) \geq 0;$$ $$y \leq -\frac{\pi}{6} \text{ и } y \geq \frac{\pi}{3};$$

Первое значение:

$$\arctg x \leq -\frac{\pi}{6};$$ $$\tg \left( -\frac{\pi}{6} \right) \geq x;$$ $$-\frac{\sqrt{3}}{3} \geq x;$$

Второе значение:

$$\arctg x \geq \frac{\pi}{3};$$ $$\tg \frac{\pi}{3} \leq x;$$ $$\sqrt{3} \leq x;$$

Ответ: $x \leq -\frac{\sqrt{3}}{3}; \, x \geq \sqrt{3}$.

в) $9 \arccos^2 x \leq 9\pi \cdot \arccos x — 2\pi^2$;

Пусть $y = \arccos x$, тогда:

$$9y^2 — 9\pi \cdot y + 2\pi^2 \leq 0;$$ $$D = (9\pi)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 2\pi^2 = 81\pi^2 — 72\pi^2 = 9\pi^2, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{9\pi — 3\pi}{2 \cdot 9} = \frac{6\pi}{18} = \frac{\pi}{3};$$ $$y_2 = \frac{9\pi + 3\pi}{2 \cdot 9} = \frac{12\pi}{18} = \frac{2\pi}{3};$$ $$\left( y — \frac{\pi}{3} \right) \left( y — \frac{2\pi}{3} \right) \leq 0;$$ $$\frac{\pi}{3} \leq y \leq \frac{2\pi}{3};$$

Первое значение:

$$\arccos x \geq \frac{\pi}{3};$$ $$\cos \frac{\pi}{3} \geq x;$$ $$\frac{1}{2} \geq x;$$

Второе значение:

$$\arccos x \leq \frac{2\pi}{3};$$ $$\cos \frac{2\pi}{3} \leq x;$$ $$-\frac{1}{2} \leq x;$$

Ответ: $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$.

г) $16 \arcctg^2 x + 3\pi^2 > 16\pi \cdot \arcctg x$;

Пусть $y = \arcctg x$, тогда:

$$16y^2 — 16\pi \cdot y + 3\pi^2 > 0;$$ $$D = (16\pi)^2 — 4 \cdot 16 \cdot 3\pi^2 = 256\pi^2 — 192\pi^2 = 64\pi^2, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{16\pi — 8\pi}{2 \cdot 16} = \frac{8\pi}{32} = \frac{\pi}{4};$$ $$y_2 = \frac{16\pi + 8\pi}{2 \cdot 16} = \frac{24\pi}{32} = \frac{3\pi}{4};$$ $$\left( y — \frac{\pi}{4} \right) \left( y — \frac{3\pi}{4} \right) > 0;$$ $$y < \frac{\pi}{4} \text{ и } y > \frac{3\pi}{4};$$

Первое значение:

$$\arcctg x < \frac{\pi}{4};$$ $$\ctg \frac{\pi}{4} < x;$$ $$1 < x;$$

Второе значение:

$$\arcctg x > \frac{3\pi}{4};$$ $$\ctg \frac{3\pi}{4} > x;$$ $$-1 > x;$$

Ответ: $x < -1; \, x > 1$.

а) $8 \arcsin^2 x + 2\pi \cdot \arcsin x < \pi^2$;

Шаг 1: Замена переменной

Для удобства введем замену $y = \arcsin x$. Тогда у нас будет следующее уравнение:

$$8y^2 + 2\pi \cdot y — \pi^2 < 0.$$

Это квадратное неравенство относительно $y$.

Шаг 2: Решение квадратного неравенства

Решим это неравенство. Для начала найдем дискриминант $D$:

$$D = (2\pi)^2 + 4 \cdot 8 \cdot \pi^2 = 4\pi^2 + 32\pi^2 = 36\pi^2.$$

Теперь, находим корни уравнения с помощью формулы для квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-2\pi — 6\pi}{16} = \frac{-8\pi}{16} = -\frac{\pi}{2},$$ $$y_2 = \frac{-2\pi + 6\pi}{16} = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 3: Разложение неравенства

Теперь преобразуем исходное неравенство:

$$(3y + \pi)(3y — \pi) < 0.$$

Это неравенство будет выполнено, когда $y$ находится между корнями $y_1$ и $y_2$:

$$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 4: Возврат к переменной $x$

Теперь, так как $y = \arcsin x$, получаем:

$$-\frac{\pi}{2} < \arcsin x < \frac{\pi}{4}.$$

Для нахождения $x$, воспользуемся тем, что $\arcsin x$ является функцией с диапазоном от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$. Мы получаем:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) < x < \sin\left(\frac{\pi}{4}\right).$$

Зная, что:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 \quad \text{и} \quad \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2},$$

получаем:

$$-1 < x < \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Ответ: $-1 < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) $18 \arctg^2 x — 3\pi \cdot \arctg x \geq \pi^2$;

Шаг 1: Замена переменной

Введем замену $y = \arctg x$, чтобы упростить уравнение:

$$18y^2 — 3\pi \cdot y — \pi^2 \geq 0.$$

Это также квадратное неравенство относительно $y$.

Шаг 2: Находим дискриминант

Для решения используем дискриминант:

$$D = (3\pi)^2 + 4 \cdot 18 \cdot \pi^2 = 9\pi^2 + 72\pi^2 = 81\pi^2.$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{3\pi — 9\pi}{36} = \frac{-6\pi}{36} = -\frac{\pi}{6},$$ $$y_2 = \frac{3\pi + 9\pi}{36} = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 3: Разложение неравенства

Неравенство примет вид:

$$(y + \frac{\pi}{6})(y — \frac{\pi}{3}) \geq 0.$$

Это неравенство выполняется, если $y$ находится в пределах:

$$y \leq -\frac{\pi}{6} \quad \text{или} \quad y \geq \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 4: Возврат к переменной $x$

Теперь преобразуем $y$ обратно в $x$, используя $y = \arctg x$:

$\arctg x \leq -\frac{\pi}{6}$ означает:

$$\tg\left(-\frac{\pi}{6}\right) \geq x \quad \Rightarrow \quad x \leq -\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

$\arctg x \geq \frac{\pi}{3}$ означает:

$$\tg\left(\frac{\pi}{3}\right) \leq x \quad \Rightarrow \quad x \geq \sqrt{3}.$$

Ответ: $x \leq -\frac{\sqrt{3}}{3}; \, x \geq \sqrt{3}$.

в) $9 \arccos^2 x \leq 9\pi \cdot \arccos x — 2\pi^2$;

Шаг 1: Замена переменной

Введем замену $y = \arccos x$, тогда неравенство примет вид:

$$9y^2 — 9\pi \cdot y + 2\pi^2 \leq 0.$$

Шаг 2: Находим дискриминант

Для нахождения дискриминанта используем:

$$D = (9\pi)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 2\pi^2 = 81\pi^2 — 72\pi^2 = 9\pi^2.$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{9\pi — 3\pi}{2 \cdot 9} = \frac{6\pi}{18} = \frac{\pi}{3},$$ $$y_2 = \frac{9\pi + 3\pi}{2 \cdot 9} = \frac{12\pi}{18} = \frac{2\pi}{3}.$$

Шаг 3: Разложение неравенства

Неравенство будет выполнено, если:

$$\frac{\pi}{3} \leq y \leq \frac{2\pi}{3}.$$

Шаг 4: Возврат к переменной $x$

Теперь, так как $y = \arccos x$, получаем:

$$\frac{\pi}{3} \leq \arccos x \leq \frac{2\pi}{3}.$$

Решим это неравенство для $x$, используя функции косинуса:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \geq x \quad \text{и} \quad \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \leq x.$$

Зная, что:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2},$$

получаем:

$$-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}.$$

Ответ: $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$.

г) $16 \arcctg^2 x + 3\pi^2 > 16\pi \cdot \arcctg x$;

Шаг 1: Замена переменной

Введем замену $y = \arcctg x$, тогда неравенство примет вид:

$$16y^2 — 16\pi \cdot y + 3\pi^2 > 0.$$

Шаг 2: Находим дискриминант

Для нахождения дискриминанта используем:

$$D = (16\pi)^2 — 4 \cdot 16 \cdot 3\pi^2 = 256\pi^2 — 192\pi^2 = 64\pi^2.$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{16\pi — 8\pi}{32} = \frac{8\pi}{32} = \frac{\pi}{4},$$ $$y_2 = \frac{16\pi + 8\pi}{32} = \frac{24\pi}{32} = \frac{3\pi}{4}.$$

Шаг 3: Разложение неравенства

Неравенство будет выполнено, если:

$$y < \frac{\pi}{4} \quad \text{или} \quad y > \frac{3\pi}{4}.$$

Шаг 4: Возврат к переменной $x$

Теперь, так как $y = \arcctg x$, получаем два случая:

$\arcctg x < \frac{\pi}{4}$:

$$\ctg\left(\frac{\pi}{4}\right) < x \quad \Rightarrow \quad x > 1.$$

$\arcctg x > \frac{3\pi}{4}$:

$$\ctg\left(\frac{3\pi}{4}\right) > x \quad \Rightarrow \quad x < -1.$$

Ответ: $x < -1; \, x > 1$.

Итоговые ответы:

а) $-1 < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

б) $x \leq -\frac{\sqrt{3}}{3}; \, x \geq \sqrt{3}$

в) $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$

г) $x < -1; \, x > 1$