ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\operatorname{tg} x = 1$;

б) $\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

в) $\operatorname{tg} x = -1$;

г) $\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

а) $\operatorname{tg} x = 1$;
$x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.

б) $\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;
$x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi n = -\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$;
Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$.

в) $\operatorname{tg} x = -1$;
$x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi n = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$;
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$.

г) $\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;
$x = \operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$;
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$.

Общая формула решения:

Тангент имеет период $\pi$, т.е. $\operatorname{tg} x = \operatorname{tg}(x + \pi)$. Поэтому для любого угла $x$ существуют решения вида:

$$x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

где $\operatorname{arctg}(a)$ — это основной (главный) угол, для которого $\operatorname{tg}$ принимает значение $a$, а $n$ — целое число, отвечающее за количество периодов.

а) $\operatorname{tg} x = 1$

Шаг 1: Найдем основной угол $x_0 = \operatorname{arctg}(1)$.

Значение $\operatorname{arctg}(1)$ — это угол, тангенс которого равен 1. Известно, что:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$$

Следовательно:

$$x_0 = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 2: Запишем общее решение.
Так как период функции $\operatorname{tg} x$ равен $\pi$, то общее решение для уравнения $\operatorname{tg} x = 1$ будет:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

б) $\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Шаг 1: Найдем основной угол $x_0 = \operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

Значение $\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ — это угол, тангенс которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Известно, что:

$$\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Следовательно:

$$x_0 = -\frac{\pi}{6}$$

Шаг 2: Запишем общее решение.
Период функции $\operatorname{tg} x$ равен $\pi$, поэтому общее решение для уравнения $\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ будет:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$$

в) $\operatorname{tg} x = -1$

Шаг 1: Найдем основной угол $x_0 = \operatorname{arctg}(-1)$.

Значение $\operatorname{arctg}(-1)$ — это угол, тангенс которого равен $-1$. Известно, что:

$$\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$$

Следовательно:

$$x_0 = -\frac{\pi}{4}$$

Шаг 2: Запишем общее решение.
Период функции $\operatorname{tg} x$ равен $\pi$, поэтому общее решение для уравнения $\operatorname{tg} x = -1$ будет:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

г) $\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Шаг 1: Найдем основной угол $x_0 = \operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

Значение $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ — это угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Известно, что:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Следовательно:

$$x_0 = \frac{\pi}{6}$$

Шаг 2: Запишем общее решение.
Период функции $\operatorname{tg} x$ равен $\pi$, поэтому общее решение для уравнения $\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ будет:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Итоговые ответы:

а) $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$
б) $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$
в) $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$
г) $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$$$