ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\cos \left( \frac{\pi}{6} — 2x \right) = -1$

б) $\tg \left( \frac{\pi}{4} — \frac{x}{2} \right) = -1$

в) $2 \sin \left( \frac{\pi}{3} — \frac{x}{4} \right) = \sqrt{3}$

г) $2\cos (\frac{\pi }{4}-3x)=\sqrt{2}$

а)

$$\cos \left( \frac{\pi}{6} — 2x \right) = -1;$$ $$\cos \left( 2x — \frac{\pi}{6} \right) = -1;$$ $$2x — \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi n;$$ $$2x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12} + \pi n = \frac{7\pi}{12} + \pi n.$$

Ответ: $x = \frac{7\pi}{12} + \pi n$.

б)

$$\tg \left( \frac{\pi}{4} — \frac{x}{2} \right) = -1;$$ $$-\tg \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = -1;$$ $$\tg \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 1;$$ $$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$\frac{x}{2} = \frac{2\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{4\pi}{4} + 2\pi n = \pi + 2\pi n.$$

Ответ: $x = \pi + 2\pi n$.

в)

$$2 \sin \left( \frac{\pi}{3} — \frac{x}{4} \right) = \sqrt{3};$$ $$-2 \sin \left( \frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3};$$ $$\sin \left( \frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Если $n = 2k$, тогда:

$$\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k;$$ $$\frac{x}{4} = 2\pi k;$$ $$x = 8\pi k.$$

Если $n = 2k — 1$, тогда:

$$\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k — \pi;$$ $$\frac{x}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k — \pi;$$ $$x = \frac{8\pi}{3} + 8\pi k — 4\pi = -\frac{4\pi}{3} + 8\pi k.$$

Ответ: $x_1 = 8\pi k; \, x_2 = -\frac{4\pi}{3} + 8\pi k$.

г)

$$2 \cos \left( \frac{\pi}{4} — 3x \right) = \sqrt{2};$$ $$2 \cos \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2};$$ $$\cos \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$3x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Первое значение:

$$3x — \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$3x = 2\pi n;$$ $$x = \frac{2\pi n}{3}.$$

Второе значение:

$$3x — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$3x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}.$$

Ответ: $x_1 = \frac{2\pi n}{3}; \, x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.

а) $\cos \left( \frac{\pi}{6} — 2x \right) = -1$

Шаг 1: Используем свойство косинуса

Исходное уравнение:

$$\cos \left( \frac{\pi}{6} — 2x \right) = -1$$

Косинус функции $\cos(\theta) = -1$ достигает значения $-1$ в точках:

$$\theta = \pi + 2\pi n$$

где $n$ — целое число, так как период косинуса равен $2\pi$.

Шаг 2: Применяем полученное к нашему уравнению

Подставим $\frac{\pi}{6} — 2x$ вместо $\theta$:

$$\frac{\pi}{6} — 2x = \pi + 2\pi n$$

Шаг 3: Решаем для $x$

Теперь решим для $x$. Переносим $\frac{\pi}{6}$ на правую сторону:

$$-2x = \pi + 2\pi n — \frac{\pi}{6}$$

Упрощаем правую сторону:

$$-2x = \frac{6\pi}{6} + 2\pi n — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Теперь умножаем обе стороны на $-1$:

$$2x = -\frac{5\pi}{6} — 2\pi n$$

Разделим обе стороны на 2:

$$x = -\frac{5\pi}{12} — \pi n$$

Шаг 4: Ответ

Ответ:

$$x = -\frac{5\pi}{12} — \pi n$$

б) $\tg \left( \frac{\pi}{4} — \frac{x}{2} \right) = -1$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Исходное уравнение:

$$\tg \left( \frac{\pi}{4} — \frac{x}{2} \right) = -1$$

Тангенс функции $\tg(\theta) = -1$ принимает значение $-1$ при:

$$\theta = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

где $n$ — целое число, так как период тангенса равен $\pi$.

Шаг 2: Применяем полученное к нашему уравнению

Подставим $\frac{\pi}{4} — \frac{x}{2}$ вместо $\theta$:

$$\frac{\pi}{4} — \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 3: Решаем для $x$

Теперь решим для $x$. Переносим $\frac{\pi}{4}$ на правую сторону:

$$-\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Упрощаем правую сторону:

$$-\frac{x}{2} = -\frac{2\pi}{4} + \pi n = -\frac{\pi}{2} + \pi n$$

Теперь умножим обе стороны на $-2$:

$$x = \pi + 2\pi n$$

Шаг 4: Ответ

Ответ:

$$x = \pi + 2\pi n$$

в) $2 \sin \left( \frac{\pi}{3} — \frac{x}{4} \right) = \sqrt{3}$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Исходное уравнение:

$$2 \sin \left( \frac{\pi}{3} — \frac{x}{4} \right) = \sqrt{3}$$

Разделим обе части на 2:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} — \frac{x}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 2: Решаем для угла

Известно, что:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом, $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет решение:

$$\theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Шаг 3: Применяем это к нашему уравнению

Подставим $\frac{\pi}{3} — \frac{x}{4}$ вместо $\theta$:

$$\frac{\pi}{3} — \frac{x}{4} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 4: Решаем два случая

Первый случай ($+$):

$$\frac{\pi}{3} — \frac{x}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Вычитаем $\frac{\pi}{3}$ из обеих сторон:

$$-\frac{x}{4} = 2\pi n$$

Умножаем обе стороны на $-4$:

$$x = -8\pi n$$

Второй случай ($—$):

$$\frac{\pi}{3} — \frac{x}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Вычитаем $\frac{\pi}{3}$ из обеих сторон:

$$-\frac{x}{4} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Умножаем обе стороны на $-4$:

$$x = \frac{8\pi}{3} + 8\pi n — 4\pi = -\frac{4\pi}{3} + 8\pi n$$

Шаг 5: Ответ

Ответ:

$$x_1 = 8\pi n, \quad x_2 = -\frac{4\pi}{3} + 8\pi n$$

г) $2 \cos \left( \frac{\pi}{4} — 3x \right) = \sqrt{2}$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Исходное уравнение:

$$2 \cos \left( \frac{\pi}{4} — 3x \right) = \sqrt{2}$$

Разделим обе части на 2:

$$\cos \left( \frac{\pi}{4} — 3x \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 2: Решаем для угла

Известно, что:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно, решение для $\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ будет:

$$\theta = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Шаг 3: Применяем это к нашему уравнению

Подставим $\frac{\pi}{4} — 3x$ вместо $\theta$:

$$\frac{\pi}{4} — 3x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 4: Решаем два случая

Первый случай ($+$):

$$\frac{\pi}{4} — 3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Вычитаем $\frac{\pi}{4}$ из обеих сторон:

$$-3x = 2\pi n$$

Делим на -3:

$$x = -\frac{2\pi n}{3}$$

Второй случай ($—$):

$$\frac{\pi}{4} — 3x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Вычитаем $\frac{\pi}{4}$ из обеих сторон:

$$-3x = -\frac{2\pi}{4} + 2\pi n$$

Делим на -3:

$$x = \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

Шаг 5: Ответ

Ответ:

$$x_1 = \frac{2\pi n}{3}, \quad x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

Итоговые ответы:

а) $x = -\frac{5\pi}{12} — \pi n$

б) $x = \pi + 2\pi n$

в) $x_1 = 8\pi n; \, x_2 = -\frac{4\pi}{3} + 8\pi n$

г) $x_1 = \frac{2\pi n}{3}; \, x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$