ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sin x = \frac{1}{2}, \, x \in \left( \frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4} \right);$

Решения уравнения:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Значения на данном интервале:

$$x_1 = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6};$$ $$x_2 = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{6} + \pi = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6};$$ $$x_3 = (-1)^2 \cdot \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6};$$

Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{13\pi}{6}.$

б) $\sin x = -\frac{1}{2}, \, x \in \left( -\frac{5\pi}{6}; 6 \right);$

Решения уравнения:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Значения на данном интервале:

$$x_1 = (-1)^{0+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{6};$$ $$x_2 = (-1)^{1+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6};$$ $$x_3 = (-1)^{2+1} \cdot \frac{\pi}{6} + 2\pi = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6};$$

Ответ: $-\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}.$

в) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in (-4; 3);$

Решения уравнения:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Значения на данном интервале:

$$x_1 = (-1)^{-1} \cdot \frac{\pi}{4} — \pi = -\frac{\pi}{4} — \pi = -\frac{5\pi}{4};$$ $$x_2 = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4};$$ $$x_3 = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{4} + \pi = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4};$$

Ответ: $-\frac{5\pi}{4}; \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}.$

г) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in (-3; 6);$

Решения уравнения:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Значения на данном интервале:

$$x_1 = (-1)^{-1+1} \cdot \frac{\pi}{4} — \pi = \frac{\pi}{4} — \pi = -\frac{3\pi}{4};$$ $$x_2 = (-1)^{0+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4};$$ $$x_3 = (-1)^{1+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4};$$ $$x_4 = (-1)^{2+1} \cdot \frac{\pi}{4} + 2\pi = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4};$$

Ответ: $-\frac{3\pi}{4}; -\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}.$

а) $\sin x = \frac{1}{2}, \, x \in \left( \frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4} \right);$

Решение уравнения:

Рассмотрим уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$. Мы знаем, что синус принимает значение $\frac{1}{2}$ в точках:

• $x = \frac{\pi}{6}$, так как $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
• Период синуса равен $2\pi$, а следовательно, решения будут повторяться через $2\pi$.

Общее решение будет иметь вид:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n,$$

где $n$ — целое число, а $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Значения на данном интервале:

Интервал, на котором нужно найти решения, это $\left( \frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4} \right)$. Теперь подставим различные значения $n$ в общее решение:

• Для $n = 0$:

  $$x_1 = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6}.$$

  Это решение попадает в интервал $\left( \frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4} \right)$, так как $\frac{\pi}{6} \approx 0.523$, и оно больше $\frac{1}{2}$.

• Для $n = 1$:

  $$x_2 = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{6} + \pi = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}.$$

  Это решение также лежит в интервале $\left( \frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4} \right)$, так как $\frac{5\pi}{6} \approx 2.617$.

• Для $n = 2$:

  $$x_3 = (-1)^2 \cdot \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}.$$

  Это решение также лежит в интервале, так как $\frac{13\pi}{6} \approx 6.806$, и оно меньше $\frac{11\pi}{4} \approx 8.639$.

Таким образом, решения уравнения на данном интервале:

$$x_1 = \frac{\pi}{6}, \, x_2 = \frac{5\pi}{6}, \, x_3 = \frac{13\pi}{6}.$$

Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{13\pi}{6}.$

б) $\sin x = -\frac{1}{2}, \, x \in \left( -\frac{5\pi}{6}; 6 \right);$

Решение уравнения:

Рассмотрим уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$. Мы знаем, что синус принимает значение $-\frac{1}{2}$ в точках:

• $x = -\frac{\pi}{6}$, так как $\sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2}$.
• Период синуса равен $2\pi$, а следовательно, решения будут повторяться через $2\pi$.

Общее решение будет иметь вид:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n,$$

где $n$ — целое число, а $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Значения на данном интервале:

Интервал, на котором нужно найти решения, это $\left( -\frac{5\pi}{6}; 6 \right)$. Теперь подставим различные значения $n$ в общее решение:

• Для $n = 0$:

  $$x_1 = (-1)^{0+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{6}.$$

  Это решение попадает в интервал $\left( -\frac{5\pi}{6}; 6 \right)$, так как $-\frac{\pi}{6} \approx -0.524$, и оно больше $-\frac{5\pi}{6} \approx -2.618$.

• Для $n = 1$:

  $$x_2 = (-1)^{1+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}.$$

  Это решение лежит в интервале $\left( -\frac{5\pi}{6}; 6 \right)$, так как $\frac{7\pi}{6} \approx 3.665$.

• Для $n = 2$:

  $$x_3 = (-1)^{2+1} \cdot \frac{\pi}{6} + 2\pi = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}.$$

  Это решение также лежит в интервале, так как $\frac{11\pi}{6} \approx 5.759$, и оно меньше 6.

Таким образом, решения уравнения на данном интервале:

$$x_1 = -\frac{\pi}{6}, \, x_2 = \frac{7\pi}{6}, \, x_3 = \frac{11\pi}{6}.$$

Ответ: $-\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}.$

в) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in (-4; 3);$

Решение уравнения:

Рассмотрим уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Мы знаем, что синус принимает значение $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в точках:

• $x = \frac{\pi}{4}$, так как $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Период синуса равен $2\pi$, а следовательно, решения будут повторяться через $2\pi$.

Общее решение будет иметь вид:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n,$$

где $n$ — целое число, а $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

Значения на данном интервале:

Интервал, на котором нужно найти решения, это $(-4; 3)$. Теперь подставим различные значения $n$ в общее решение:

• Для $n = -1$:

  $$x_1 = (-1)^{-1} \cdot \frac{\pi}{4} — \pi = -\frac{\pi}{4} — \pi = -\frac{5\pi}{4}.$$

  Это решение попадает в интервал $(-4; 3)$, так как $-\frac{5\pi}{4} \approx -3.927$, и оно больше $-4$.

• Для $n = 0$:

  $$x_2 = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4}.$$

  Это решение также лежит в интервале, так как $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$, и оно меньше 3.

• Для $n = 1$:

  $$x_3 = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{4} + \pi = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}.$$

  Это решение лежит в интервале $(-4; 3)$, так как $\frac{3\pi}{4} \approx 2.356$, и оно меньше 3.

Таким образом, решения уравнения на данном интервале:

$$x_1 = -\frac{5\pi}{4}, \, x_2 = \frac{\pi}{4}, \, x_3 = \frac{3\pi}{4}.$$

Ответ: $-\frac{5\pi}{4}; \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}.$

г) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in (-3; 6);$

Решение уравнения:

Рассмотрим уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Мы знаем, что синус принимает значение $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ в точках:

• $x = -\frac{\pi}{4}$, так как $\sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Период синуса равен $2\pi$, а следовательно, решения будут повторяться через $2\pi$.

Общее решение будет иметь вид:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n,$$

где $n$ — целое число, а $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

Значения на данном интервале:

Интервал, на котором нужно найти решения, это $(-3; 6)$. Теперь подставим различные значения $n$ в общее решение:

• Для $n = -1$:

  $$x_1 = (-1)^{-1+1} \cdot \frac{\pi}{4} — \pi = \frac{\pi}{4} — \pi = -\frac{3\pi}{4}.$$

  Это решение попадает в интервал $(-3; 6)$, так как $-\frac{3\pi}{4} \approx -2.356$, и оно больше $-3$.

• Для $n = 0$:

  $$x_2 = (-1)^{0+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4}.$$

  Это решение лежит в интервале, так как $-\frac{\pi}{4} \approx -0.785$, и оно больше $-3$.

• Для $n = 1$:

  $$x_3 = (-1)^{1+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}.$$

  Это решение также лежит в интервале, так как $\frac{5\pi}{4} \approx 3.927$, и оно меньше 6.

• Для $n = 2$:

  $$x_4 = (-1)^{2+1} \cdot \frac{\pi}{4} + 2\pi = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}.$$

  Это решение также лежит в интервале, так как $\frac{7\pi}{4} \approx 5.498$, и оно меньше 6.

Таким образом, решения уравнения на данном интервале:

$$x_1 = -\frac{3\pi}{4}, \, x_2 = -\frac{\pi}{4}, \, x_3 = \frac{5\pi}{4}, \, x_4 = \frac{7\pi}{4}.$$

Ответ: $-\frac{3\pi}{4}; -\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}.$