ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.47 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Решить систему неравенств:

$$\begin{cases} \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}; \\ \tg x > 1,5 \end{cases}$$

1) Первое неравенство: $\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

• Решение:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

2) Второе неравенство: $\tg x > 1,5$

• Решение:

$$x = \arctg 1,5 + \pi n;$$ $$\arctg 1,5 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$\pi + \arctg 1,5 + \pi n < x < \frac{3\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ:

$$\arctg 1,5 + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$\pi + \arctg 1,5 + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

б) Решить систему неравенств:

$$\begin{cases} \cos x > -\frac{3}{7}; \\ \tg x < -0,1 \end{cases}$$

1) Первое неравенство: $\cos x > -\frac{3}{7}$

• Решение:

$$x = \pm \arccos \left(-\frac{3}{7}\right) + 2\pi n;$$ $$-\arccos \left(-\frac{3}{7}\right) + 2\pi n < x < \arccos \left(-\frac{3}{7}\right) + 2\pi n;$$

2) Второе неравенство: $\tg x < -0,1$

• Решение:

$$x = -\arctg 0,1 + \pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\arctg 0,1 + \pi n;$$ $$\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi — \arctg 0,1 + \pi n;$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < -\arctg 0,1 + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \arccos \left(-\frac{3}{7}\right) + 2\pi n.$$

а) Решить систему неравенств:

$$\begin{cases} \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}; \\ \tg x > 1,5 \end{cases}$$

1) Первое неравенство: $\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Для того чтобы решить это неравенство, вспомним, что $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ при $x = \frac{\pi}{3}$. Эта информация поможет нам ограничить диапазон значений для $x$.

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет два решения на интервале от $0$ до $2\pi$: $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Неравенство $\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ означает, что $x$ должен быть в области, где синус функции меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы можем разделить наш анализ на два интервала на одном периоде:

• $x \in \left( \frac{\pi}{3}, \pi — \frac{\pi}{3} \right)$ и
• $x \in \left( \pi + \frac{\pi}{3}, 2\pi — \frac{\pi}{3} \right)$.

Общий вид решения будет выглядеть так:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Таким образом, решение первого неравенства $\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ будет в интервале:

$$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

2) Второе неравенство: $\tg x > 1,5$

Для того чтобы решить неравенство $\tg x > 1,5$, вспомним, что $\tan x = 1,5$ при $x = \arctg(1,5)$, что даёт $x_0 = \arctg(1,5)$, примерно равное $0,982$ рад. Это значение будет отправной точкой для решения неравенства $\tg x > 1,5$.

Тангенс функции имеет период $\pi$, то есть $\tan x = \tan(x + \pi n)$. Мы будем искать интервал значений $x$, где $\tan x > 1,5$. Так как $\tan x$ увеличивается на интервале $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ и на $\left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$, нам нужно рассматривать два интервала на одном периоде:

• $x \in \left( \arctg 1,5 + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$ и
• $x \in \left( \pi + \arctg 1,5 + \pi n, \frac{3\pi}{2} + \pi n \right)$.

Таким образом, решение второго неравенства:

$$x = \arctg 1,5 + \pi n;$$ $$\arctg 1,5 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$\pi + \arctg 1,5 + \pi n < x < \frac{3\pi}{2} + \pi n.$$

3) Объединение решений

Теперь объединим решения первого и второго неравенств.

Первое неравенство даёт интервал:

$$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Второе неравенство даёт два интервала:

$$\arctg 1,5 + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$\pi + \arctg 1,5 + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

Таким образом, объединённое решение системы:

$$\arctg 1,5 + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$\pi + \arctg 1,5 + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

б) Решить систему неравенств:

$$\begin{cases} \cos x > -\frac{3}{7}; \\ \tg x < -0,1 \end{cases}$$

1) Первое неравенство: $\cos x > -\frac{3}{7}$

Для начала вспомним, что $\cos x = -\frac{3}{7}$ имеет решения, которые можно найти через арккосинус:

$$x = \pm \arccos \left( -\frac{3}{7} \right) + 2\pi n.$$

Пусть $\alpha = \arccos \left( -\frac{3}{7} \right)$ — это решение первого уравнения. Таким образом, решение первого неравенства будет:

$$-\arccos \left( -\frac{3}{7} \right) + 2\pi n < x < \arccos \left( -\frac{3}{7} \right) + 2\pi n.$$

Это означает, что на одном периоде $2\pi$ косинус будет больше $-\frac{3}{7}$ на интервале:

$$-\alpha + 2\pi n < x < \alpha + 2\pi n.$$

2) Второе неравенство: $\tg x < -0,1$

Для того чтобы решить неравенство $\tan x < -0,1$, нам нужно понять, на каких интервалах тангенс будет меньше $-0,1$. Мы знаем, что $\tan x = -0,1$ при $x = -\arctg(0,1)$, что примерно равно $-0,0997$. Тангенс возрастает на интервале $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ и на $\left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right)$.

Решение второго неравенства будет:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\arctg(0,1) + \pi n;$$ $$\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi — \arctg(0,1) + \pi n.$$

3) Объединение решений

Первое неравенство даёт интервал:

$$-\alpha + 2\pi n < x < \alpha + 2\pi n.$$

Второе неравенство даёт два интервала:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < -\arctg(0,1) + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \alpha + 2\pi n.$$

Таким образом, объединённое решение системы:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < -\arctg(0,1) + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \arccos \left( -\frac{3}{7} \right) + 2\pi n.$$

Ответ:

а) $\arctg 1,5 + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$

$$\pi + \arctg 1,5 + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

б) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < -\arctg(0,1) + 2\pi n;$

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \arccos \left( -\frac{3}{7} \right) + 2\pi n.$$