ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.48 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Решить систему неравенств:

$$\begin{cases} ctg x < -\frac{\sqrt{3}}{3}; \\ \sin x > -0,8 \end{cases}$$

1) Первое неравенство: $ctg x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$

• Решение:

  $$ctg x = \frac{1}{\tan x}$$ $$ctg x < -\frac{\sqrt{3}}{3} \implies \tan x < -\sqrt{3}$$ $$x = \pi — \arctg \frac{\sqrt{3}}{3} + \pi n = \pi — \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n$$ $$\frac{2\pi}{3} + \pi n < x < \pi + \pi n$$ $$-\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \pi n$$

2) Второе неравенство: $\sin x > -0,8$

• Решение:

  $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 0,8 + \pi n$$ $$-\arcsin 0,8 + 2\pi n < x < \pi + \arcsin 0,8 + 2\pi n$$

Ответ:

$$-\arcsin 0,8 + 2\pi n < x < 2\pi n$$ $$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \pi + 2\pi n$$

б) Решить систему неравенств:

$$\begin{cases} \cos x < \frac{4}{9}; \\ ctg x > -3 \end{cases}$$

1) Первое неравенство: $\cos x < \frac{4}{9}$

• Решение:

  $$x = \pm \arccos \frac{4}{9} + 2\pi n$$ $$\arccos \frac{4}{9} + 2\pi n < x < 2\pi — \arccos \frac{4}{9} + 2\pi n$$

2) Второе неравенство: $ctg x > -3$

• Решение:

  $$ctg x = \frac{1}{\tan x}$$ $$ctg x > -3 \implies \tan x > -\frac{1}{3}$$ $$x = \arctg(-3) + \pi n$$ $$\pi n < x < \pi + \arctg(-3) + \pi n$$

Ответ:

$$\arccos \frac{4}{9} + 2\pi n < x < 2\pi — \arccos \frac{4}{9} + 2\pi n$$ $$\pi + 2\pi n < x < 2\pi — \arccos \frac{4}{9} + 2\pi n$$

Часть а) Решить систему неравенств:

$$\begin{cases} ctg x < -\frac{\sqrt{3}}{3}; \\ \sin x > -0,8 \end{cases}$$

1) Первое неравенство: $ctg x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Рассмотрим выражение $ctg x$, которое является косекансом угла $x$, то есть $ctg x = \frac{1}{\tan x}$. Для того чтобы решить неравенство, перепишем его в более удобной форме:

$$ctg x < -\frac{\sqrt{3}}{3} \implies \frac{1}{\tan x} < -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Это неравенство можно решить через преобразование:

$$\tan x > -\sqrt{3}$$

Теперь найдем, при каких значениях угла $x$ выполняется это условие. Задача сводится к нахождению углов, для которых тангенс меньше $-\sqrt{3}$. Мы знаем, что тангенс угла $\frac{\pi}{3}$ равен $\sqrt{3}$, а следовательно, $\tan x = -\sqrt{3}$ имеет решение:

$$x = \pi — \arctg \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) + \pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$, так как тангенс имеет период $\pi$. Вычислим значение $\arctg \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)$:

$$\arctg \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = \frac{\pi}{6}$$

Подставляем это значение в решение:

$$x = \pi — \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n$$

Теперь рассматриваем интервал, в котором неравенство $\tan x < -\sqrt{3}$ выполняется. Тангенс будет меньше $-\sqrt{3}$ на интервале между значениями $\frac{5\pi}{6} + \pi n$ и $\pi + \pi n$. Получаем решение:

$$\frac{5\pi}{6} + \pi n < x < \pi + \pi n$$

Включая этот результат в ответ, получаем:

$$-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \pi n$$

2) Второе неравенство: $\sin x > -0,8$

Теперь рассмотрим неравенство $\sin x > -0,8$. Для того чтобы решить его, вспомним, что синус угла $x$ принимает значения от $-1$ до $1$, и на графике синуса область, где $\sin x > -0,8$, лежит между значениями углов, соответствующими $\sin^{-1} (-0,8)$ и $\sin^{-1} (0,8)$.

Решение:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 0,8 + \pi n$$

Таким образом, на интервале $-\arcsin 0,8 + 2\pi n < x < \pi + \arcsin 0,8 + 2\pi n$, синус удовлетворяет неравенству $\sin x > -0,8$.

Получаем решение:

$$-\arcsin 0,8 + 2\pi n < x < 2\pi n$$

Ответ для части а):

Таким образом, окончательное решение системы неравенств для части а) имеет вид:

$$-\arcsin 0,8 + 2\pi n < x < 2\pi n$$ $$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \pi + 2\pi n$$

Часть б) Решить систему неравенств:

$$\begin{cases} \cos x < \frac{4}{9}; \\ ctg x > -3 \end{cases}$$

1) Первое неравенство: $\cos x < \frac{4}{9}$

Рассмотрим первое неравенство $\cos x < \frac{4}{9}$. Для решения этого неравенства, запишем его в виде:

$$x = \pm \arccos \left( \frac{4}{9} \right) + 2\pi n$$

Где $\arccos$ — это арккосинус, который дает значения углов, для которых косинус равен $\frac{4}{9}$. Для получения интервала, на котором выполняется неравенство, нам нужно найти углы, соответствующие значениям $\cos x = \frac{4}{9}$. Итак, решение:

$$\arccos \left( \frac{4}{9} \right) + 2\pi n < x < 2\pi — \arccos \left( \frac{4}{9} \right) + 2\pi n$$

Получаем, что значения $x$, для которых косинус меньше $\frac{4}{9}$, лежат на интервале между:

$$\arccos \left( \frac{4}{9} \right) + 2\pi n < x < 2\pi — \arccos \left( \frac{4}{9} \right) + 2\pi n$$

2) Второе неравенство: $ctg x > -3$

Теперь решим неравенство $ctg x > -3$. Напомним, что $ctg x = \frac{1}{\tan x}$, и мы можем записать:

$$\frac{1}{\tan x} > -3 \implies \tan x < -\frac{1}{3}$$

Задача сводится к нахождению значений $x$, для которых $\tan x < -\frac{1}{3}$. Для этого нужно решить уравнение:

$$x = \arctg(-3) + \pi n$$

где $\arctg(-3)$ — это арктангенс отрицательного числа $-3$, который можно вычислить. Далее мы получаем следующее решение:

$$\pi n < x < \pi + \arctg(-3) + \pi n$$

Ответ для части б):

Окончательное решение системы неравенств для части б) выглядит так:

$$\arccos \left( \frac{4}{9} \right) + 2\pi n < x < 2\pi — \arccos \left( \frac{4}{9} \right) + 2\pi n$$ $$\pi + 2\pi n < x < 2\pi — \arccos \left( \frac{4}{9} \right) + 2\pi n$$