ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $6 \cos^2 x + 5 \cos x + 1 = 0$;

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$6y^2 + 5y + 1 = 0;$$

Дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 — 24 = 1,$$

тогда:

$$y_1 = \frac{-5 — 1}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2};$$ $$y_2 = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3};$$

Первое значение:

$$\cos x = -\frac{1}{2};$$ $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos x = -\frac{1}{3};$$ $$x = \pm \arccos \left( -\frac{1}{3} \right) + 2\pi n;$$

Ответ:

$$x_1 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \quad x_2 = \pm \arccos \left( -\frac{1}{3} \right) + 2\pi n.$$

б) $3 + 9 \cos x = 5 \sin^2 x$;

Перепишем уравнение:

$$3 + 9 \cos x = 5 — 5 \cos^2 x;$$ $$5 \cos^2 x + 9 \cos x — 2 = 0;$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$5y^2 + 9y — 2 = 0;$$

Дискриминант:

$$D = 9^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121,$$

тогда:

$$y_1 = \frac{-9 — 11}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2;$$ $$y_2 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5};$$

Первое значение:

$$\cos x = -2;$$

нет корней (так как $|\cos x| \leq 1$).

Второе значение:

$$\cos x = \frac{1}{5};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{5} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{5} + 2\pi n.$$

а) $6 \cos^2 x + 5 \cos x + 1 = 0$

Шаг 1: Замена переменной

Для удобства решаем уравнение через замену переменной:

$$y = \cos x.$$

Тогда уравнение становится:

$$6y^2 + 5y + 1 = 0.$$

Шаг 2: Нахождение дискриминанта

Теперь найдем дискриминант для квадратного уравнения:

$$D = b^2 — 4ac = 5^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 — 24 = 1.$$

Шаг 3: Нахождение корней уравнения

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},$$

где $a = 6$, $b = 5$, $c = 1$, и $D = 1$. Подставляем значения:

$$y_1 = \frac{-5 — 1}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2},$$ $$y_2 = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}.$$

Таким образом, корни уравнения:

$$y_1 = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = -\frac{1}{3}.$$

Шаг 4: Возвращаемся к переменной $x$

Теперь, зная, что $y = \cos x$, решим для $x$.

Для $y_1 = -\frac{1}{2}$:

$$\cos x = -\frac{1}{2}.$$

Косинус равен $-\frac{1}{2}$ при углах $x = \pi — \frac{\pi}{3}$ и $x = \pi + \frac{\pi}{3}$, то есть:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Для $y_2 = -\frac{1}{3}$:

$$\cos x = -\frac{1}{3}.$$

Для этого значения находим арккосинус:

$$x = \pm \arccos \left( -\frac{1}{3} \right) + 2\pi n.$$

Шаг 5: Ответ

Итак, решения для $x$ следующие:

$$x_1 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad x_2 = \pm \arccos \left( -\frac{1}{3} \right) + 2\pi n.$$

б) $3 + 9 \cos x = 5 \sin^2 x$

Шаг 1: Переписываем уравнение

Мы начинаем с уравнения:

$$3 + 9 \cos x = 5 \sin^2 x.$$

Используем тождество $\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$ для замены $\sin^2 x$:

$$3 + 9 \cos x = 5(1 — \cos^2 x).$$

Раскрываем скобки:

$$3 + 9 \cos x = 5 — 5 \cos^2 x.$$

Шаг 2: Переносим все члены на одну сторону

Переносим все члены в левую часть:

$$5 \cos^2 x + 9 \cos x — 2 = 0.$$

Шаг 3: Замена переменной

Для упрощения снова заменим $y = \cos x$. Уравнение теперь принимает вид:

$$5y^2 + 9y — 2 = 0.$$

Шаг 4: Нахождение дискриминанта

Теперь найдем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 9^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121.$$

Шаг 5: Нахождение корней уравнения

Найдем корни уравнения с помощью формулы:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения:

$$y_1 = \frac{-9 — 11}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2,$$ $$y_2 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}.$$

Шаг 6: Рассмотрим полученные значения

1. $y_1 = -2$. Косинус не может быть равен $-2$, так как $|\cos x| \leq 1$. Следовательно, это значение не имеет решений.
2. $y_2 = \frac{1}{5}$. Для этого значения $\cos x = \frac{1}{5}$, и решения будут:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{5} + 2\pi n.$$

Шаг 7: Ответ

Ответ: $x = \pm \arccos \frac{1}{5} + 2\pi n$.

Итоговые ответы:

а) $x_1 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad x_2 = \pm \arccos \left( -\frac{1}{3} \right) + 2\pi n$

б) $x = \pm \arccos \frac{1}{5} + 2\pi n$