ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.51 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:$2|x — 6| \cdot \cos x = x — 6$

а) $\sqrt{16 — x^2} \cdot \sin x = 0$;

б) $(\sqrt{2} \cos x — 1) \cdot \sqrt{4x^2 — 7x + 3} = 0$;

в) $\sqrt{7x — x^2} \cdot (2 \cos x — 1) = 0$;

г) $(2 \sin x — \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3x^2 — 7x + 4} = 0$

а) $\sqrt{16 — x^2} \cdot \sin x = 0$;

Первое уравнение:

$$\sqrt{16 — x^2} = 0;$$ $$16 — x^2 = 0;$$ $$x^2 = 16;$$ $$x = \pm 4;$$

Второе уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$16 — x^2 \geq 0;$$ $$x^2 — 16 \leq 0;$$ $$(x + 4)(x — 4) \leq 0;$$ $$-4 \leq x \leq 4;$$

Ответ: $-4; -\pi; 0; \pi; 4.$

б) $(\sqrt{2} \cos x — 1) \cdot \sqrt{4x^2 — 7x + 3} = 0$;

Первое уравнение:

$$\sqrt{2} \cos x — 1 = 0;$$ $$\sqrt{2} \cos x = 1;$$ $$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}};$$ $$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sqrt{4x^2 — 7x + 3} = 0;$$ $$4x^2 — 7x + 3 = 0;$$ $$D = 7^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 — 48 = 1, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{7 — 1}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$4x^2 — 7x + 3 \geq 0;$$ $$\left(x — \frac{3}{4}\right)(x — 1) \geq 0;$$ $$x \leq \frac{3}{4} \quad \text{и} \quad x \geq 1;$$

Ответ: $1; \frac{3}{4}; -\frac{\pi}{4}; \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n (n = \pm 1; \pm 2; \pm 3; \ldots)$.

в) $\sqrt{7x — x^2} \cdot (2 \cos x — 1) = 0$;

Первое уравнение:

$$\sqrt{7x — x^2} = 0;$$ $$7x — x^2 = 0;$$ $$x(7 — x) = 0;$$ $$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 7;$$

Второе уравнение:

$$2 \cos x — 1 = 0;$$ $$2 \cos x = 1;$$ $$\cos x = \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$7x — x^2 \geq 0;$$ $$x^2 — 7x \leq 0;$$ $$x(x — 7) \leq 0;$$ $$0 \leq x \leq 7;$$

Ответ: $0; \frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}; 7$.

г) $(2 \sin x — \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3x^2 — 7x + 4} = 0$;

Первое уравнение:

$$2 \sin x — \sqrt{3} = 0;$$ $$2 \sin x = \sqrt{3};$$ $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x_1 = (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi(2k) = \frac{\pi}{3} + 2\pi k;$$ $$x_2 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi(2k+1) = -\frac{\pi}{3} + \pi + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k;$$

Второе уравнение:

$$\sqrt{3x^2 — 7x + 4} = 0;$$ $$3x^2 — 7x + 4 = 0;$$ $$D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 — 48 = 1, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{7 — 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3};$$

Выражение имеет смысл при:

$$3x^2 — 7x + 4 \geq 0;$$ $$(x — 1)\left(x — \frac{4}{3}\right) \geq 0;$$ $$x \leq 1 \quad \text{и} \quad x \geq \frac{4}{3};$$

Ответ: $1; \frac{4}{3}; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k (n \in \mathbb{Z}); \frac{\pi}{3} + 2\pi k (n = \pm 1; \pm 2; \pm 3; \ldots)$.

а) $\sqrt{16 — x^2} \cdot \sin x = 0$

Для решения данного уравнения рассмотрим два множителя, так как произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Шаг 1. Первое уравнение: $\sqrt{16 — x^2} = 0$

Рассмотрим первое уравнение:

$$\sqrt{16 — x^2} = 0.$$

Для того чтобы квадратный корень был равен нулю, выражение под корнем должно быть равно нулю:

$$16 — x^2 = 0.$$

Решаем это уравнение:

$$x^2 = 16.$$

Из этого получаем два возможных значения для $x$:

$$x = \pm 4.$$

Шаг 2. Второе уравнение: $\sin x = 0$

Теперь рассмотрим второе уравнение:

$$\sin x = 0.$$

Решение уравнения $\sin x = 0$ — это те значения $x$, для которых синус равен нулю. Эти значения получаются при:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, решения для $\sin x = 0$ — это все целые кратные $\pi$.

Шаг 3. Ограничение области определения

Теперь необходимо учесть ограничения на $x$ из-за выражения $\sqrt{16 — x^2}$. Квадратный корень существует только тогда, когда подкоренное выражение не отрицательно:

$$16 — x^2 \geq 0.$$

Решаем это неравенство:

$$x^2 \leq 16.$$

Решение неравенства:

$$-4 \leq x \leq 4.$$

Шаг 4. Сводим все решения

Теперь соберем все решения:

• Из первого уравнения получаем $x = \pm 4$.
• Из второго уравнения получаем $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• При этом $x$ должно удовлетворять условию $-4 \leq x \leq 4$.

Таким образом, возможные значения для $x$ — это:

$$x = -4, \quad x = -\pi, \quad x = 0, \quad x = \pi, \quad x = 4.$$

Ответ: $-4; -\pi; 0; \pi; 4$.

б) $(\sqrt{2} \cos x — 1) \cdot \sqrt{4x^2 — 7x + 3} = 0$

Для этого уравнения также рассмотрим два множителя и будем решать каждое из уравнений по очереди.

Шаг 1. Первое уравнение: $\sqrt{2} \cos x — 1 = 0$

Решаем это уравнение:

$$\sqrt{2} \cos x — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{2} \cos x = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Известно, что $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ при:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, для первого уравнения решения:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Шаг 2. Второе уравнение: $\sqrt{4x^2 — 7x + 3} = 0$

Теперь решим второе уравнение:

$$\sqrt{4x^2 — 7x + 3} = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x^2 — 7x + 3 = 0.$$

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 — 48 = 1.$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения два корня:

$$x_1 = \frac{7 — 1}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1.$$

Шаг 3. Область определения

Теперь рассмотрим область определения второго множителя. Для того чтобы квадратный корень существовал, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$4x^2 — 7x + 3 \geq 0.$$

Решаем это неравенство:

$$\left( x — \frac{3}{4} \right) \left( x — 1 \right) \geq 0.$$

Решение этого неравенства: $x \leq \frac{3}{4}$ или $x \geq 1$.

Шаг 4. Сводим все решения

Таким образом, для второго уравнения решения:

$$x = \frac{3}{4}, \quad x = 1.$$

Для первого уравнения решения:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

При этом $x$ должно быть в пределах:

$$x \leq \frac{3}{4} \quad \text{или} \quad x \geq 1.$$

Проверяем, что значение $\frac{3}{4}$ соответствует правильному интервалу, а также $1$ — подходит для $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Ответ: $1; \frac{3}{4}; -\frac{\pi}{4}; \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \, (n = \pm 1; \pm 2; \pm 3; \ldots)$.

в) $\sqrt{7x — x^2} \cdot (2 \cos x — 1) = 0$

Решаем это уравнение аналогично, рассматривая два множителя.

Шаг 1. Первое уравнение: $\sqrt{7x — x^2} = 0$

Решаем:

$$\sqrt{7x — x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 7x — x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x(7 — x) = 0.$$

Таким образом, $x = 0$ или $x = 7$.

Шаг 2. Второе уравнение: $2 \cos x — 1 = 0$

Решаем:

$$2 \cos x — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x = \frac{1}{2}.$$

Решения для $\cos x = \frac{1}{2}$:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Таким образом, решения второго уравнения:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Шаг 3. Область определения

Для того чтобы квадратный корень существовал, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$7x — x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x(x — 7) \leq 0.$$

Решаем это неравенство:

$$0 \leq x \leq 7.$$

Шаг 4. Сводим все решения

Таким образом, решения для $x$:

$$x = 0, \quad x = 7, \quad x = \frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{5\pi}{3}.$$

Ответ: $0; \frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}; 7$.

г) $(2 \sin x — \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3x^2 — 7x + 4} = 0$

Шаг 1. Первое уравнение: $2 \sin x — \sqrt{3} = 0$

Решаем:

$$2 \sin x = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Решения для $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — это:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Таким образом, два возможных решения:

$$x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k.$$

Шаг 2. Второе уравнение: $\sqrt{3x^2 — 7x + 4} = 0$

Решаем:

$$3x^2 — 7x + 4 = 0.$$

Дискриминант:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 — 48 = 1.$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{7 — 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.$$

Шаг 3. Область определения

Для того чтобы выражение имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$(x — 1)\left(x — \frac{4}{3}\right) \geq 0.$$

Решение неравенства:

$$x \leq 1 \quad \text{или} \quad x \geq \frac{4}{3}.$$

Шаг 4. Сводим все решения

Решения:

$$x = 1, \quad x = \frac{4}{3}, \quad x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k.$$

Ответ: $1; \frac{4}{3}; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k (n \in \mathbb{Z}); \frac{\pi}{3} + 2\pi k (n = \pm 1; \pm 2; \pm 3; \ldots)$.$\mathrm{}$