ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.53 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти область значений функции:

а) $y = \sin x + \sqrt{-\cos^2 x}$;

Выражение имеет смысл при:

$$-\cos^2 x \geq 0;$$ $$\cos^2 x = 0;$$ $$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi (2k) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k;$$ $$x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi (2k+1) = \frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi k = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k;$$

Значения функции:

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} + \sqrt{-\cos^2 \frac{\pi}{2}} = 1 + \sqrt{-0^2} = 1;$$ $$y\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \sin \frac{3\pi}{2} + \sqrt{-\cos^2 \frac{3\pi}{2}} = -1 + \sqrt{-0^2} = -1;$$

Ответ: $y \in \{-1; 1\}$.

б) $y = \cos x + \sqrt{-\sin^2 x}$;

Выражение имеет смысл при:

$$-\sin^2 x \geq 0;$$ $$\sin^2 x = 0;$$ $$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$ $$x_1 = \pi (2k) = 2\pi k;$$ $$x_2 = \pi (2k+1) = \pi + 2\pi k;$$

Значения функции:

$$y(0) = \cos 0 + \sqrt{-\sin^2 0} = 1 + \sqrt{-0^2} = 1;$$ $$y(\pi) = \cos \pi + \sqrt{-\sin^2 \pi} = -1 + \sqrt{-0^2} = -1;$$

Ответ: $y \in \{-1; 1\}$.

а) $y = \sin x + \sqrt{-\cos^2 x}$

Шаг 1. Условие существования выражения под квадратным корнем

Для того чтобы выражение $\sqrt{-\cos^2 x}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть, для $\sqrt{-\cos^2 x}$ должно выполняться следующее условие:

$$-\cos^2 x \geq 0.$$

Решаем это неравенство:

$$\cos^2 x \leq 0.$$

Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, то $\cos^2 x = 0$. Таким образом, для того чтобы выражение под корнем было неотрицательным, нужно, чтобы:

$$\cos x = 0.$$

Шаг 2. Значения $x$, при которых $\cos x = 0$

Из условия $\cos x = 0$ получаем, что $x$ должно быть равно:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

То есть, $x$ принимает значения, равные $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots$.

Шаг 3. Значения функции

Теперь найдем значения функции $y = \sin x + \sqrt{-\cos^2 x}$ в точках, где $\cos x = 0$.

• Когда $x = \frac{\pi}{2}$:

  $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} + \sqrt{-\cos^2 \frac{\pi}{2}} = 1 + \sqrt{-0^2} = 1.$$

• Когда $x = \frac{3\pi}{2}$:

  $$y\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \sin \frac{3\pi}{2} + \sqrt{-\cos^2 \frac{3\pi}{2}} = -1 + \sqrt{-0^2} = -1.$$

Шаг 4. Область значений функции

Из предыдущих вычислений мы видим, что функция может принимать два значения:

• Когда $x = \frac{\pi}{2}$, $y = 1$.
• Когда $x = \frac{3\pi}{2}$, $y = -1$.

Таким образом, область значений функции $y = \sin x + \sqrt{-\cos^2 x}$ ограничена двумя значениями:

$$y \in \{-1, 1\}.$$

Ответ: $y \in \{-1; 1\}$.

б) $y = \cos x + \sqrt{-\sin^2 x}$

Шаг 1. Условие существования выражения под квадратным корнем

Для того чтобы выражение $\sqrt{-\sin^2 x}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть, для $\sqrt{-\sin^2 x}$ должно выполняться следующее условие:

$$-\sin^2 x \geq 0.$$

Решаем это неравенство:

$$\sin^2 x \leq 0.$$

Как и в предыдущем случае, поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, то $\sin^2 x = 0$. Таким образом, для того чтобы выражение под корнем было неотрицательным, нужно, чтобы:

$$\sin x = 0.$$

Шаг 2. Значения $x$, при которых $\sin x = 0$

Из условия $\sin x = 0$ получаем, что $x$ должно быть равно:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

То есть, $x$ принимает значения, равные $0, \pi, 2\pi, 3\pi, \dots$.

Шаг 3. Значения функции

Теперь найдем значения функции $y = \cos x + \sqrt{-\sin^2 x}$ в точках, где $\sin x = 0$.

• Когда $x = 0$:

  $$y(0) = \cos 0 + \sqrt{-\sin^2 0} = 1 + \sqrt{-0^2} = 1.$$

• Когда $x = \pi$:

  $$y(\pi) = \cos \pi + \sqrt{-\sin^2 \pi} = -1 + \sqrt{-0^2} = -1.$$

Шаг 4. Область значений функции

Из предыдущих вычислений мы видим, что функция может принимать два значения:

• Когда $x = 0$, $y = 1$.
• Когда $x = \pi$, $y = -1$.

Таким образом, область значений функции $y = \cos x + \sqrt{-\sin^2 x}$ ограничена двумя значениями:

$$y \in \{-1, 1\}.$$

Ответ: $y \in \{-1; 1\}$.