ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.54 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти область значений функции:

а) $y = \cos 3x + \sqrt{\cos^2 3x — 1}$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos^2 3x — 1 \geq 0;$$ $$1 — \cos^2 3x \leq 0;$$ $$\sin^2 3x \leq 0;$$ $$\sin 3x = 0;$$ $$3x = \pi n;$$ $$x_1 = \frac{\pi n}{3};$$ $$x_1 = \frac{\pi (2k)}{3} = \frac{2\pi k}{3};$$ $$x_2 = \frac{\pi (2k+1)}{3} = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}.$$

Значения функции:

$$y(0) = \cos(3 \cdot 0) = \cos 0 = 1;$$ $$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) = \cos \pi = -1;$$

Ответ: $y \in \{-1; 1\}$.

б) $y = \sin 2x + \sqrt{\sin^2 4x — 1}$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin^2 4x — 1 \geq 0;$$ $$1 — \sin^2 4x \leq 0;$$ $$\cos^2 4x \leq 0;$$ $$\cos 4x = 0;$$ $$4x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2};$$ $$x_1 = \pm \frac{\pi}{8} + \frac{\pi (2k)}{2} = \pm \frac{\pi}{8} + \pi k;$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi (2k+1)}{2} = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} + \pi k = \frac{3\pi}{8} + \pi k;$$ $$x_3 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi (2k+1)}{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} + \pi k = \frac{5\pi}{8} + \pi k.$$

Значения функции:

$$y\left(\pm \frac{\pi}{8}\right) = \sin\left(\pm \frac{\pi}{8} \cdot 2\right) = \sin\left(\pm \frac{\pi}{4}\right) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$y\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{8} \cdot 2\right) = \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$y\left(\frac{5\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{8} \cdot 2\right) = \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$

Ответ: $y \in \left\{-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right\}$.

а) $y = \cos 3x + \sqrt{\cos^2 3x — 1}$

Мы будем искать область значений этой функции, следуя этапам.

Шаг 1. Условие существования выражения под квадратным корнем

Чтобы квадратный корень был определён, выражение под ним должно быть неотрицательным. Для выражения $\sqrt{\cos^2 3x — 1}$ это условие будет таким:

$$\cos^2 3x — 1 \geq 0.$$

Преобразуем неравенство:

$$\cos^2 3x \geq 1.$$

Мы знаем, что $\cos^2 3x$ всегда неотрицательно, а $\cos^2 3x \leq 1$ для всех значений $x$. Таким образом, неравенство $\cos^2 3x \geq 1$ возможно только в случае, когда:

$$\cos^2 3x = 1.$$

Это значит, что:

$$\cos 3x = \pm 1.$$

Шаг 2. Значения $x$, при которых $\cos 3x = \pm 1$

Теперь нам нужно решить уравнение $\cos 3x = 1$ и $\cos 3x = -1$.

• Для $\cos 3x = 1$:

  $$3x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

  Следовательно, $x = \frac{2k\pi}{3}$.

• Для $\cos 3x = -1$:

  $$3x = (2k+1)\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

  Следовательно, $x = \frac{(2k+1)\pi}{3}$.

Шаг 3. Подставим найденные значения в функцию

Теперь, когда мы нашли значения $x$, при которых выражение под квадратным корнем неотрицательно, подставим их в саму функцию $y = \cos 3x + \sqrt{\cos^2 3x — 1}$.

• Когда $x = 0$ (из условия $\cos 3x = 1$):

  $$y(0) = \cos(3 \cdot 0) + \sqrt{\cos^2(3 \cdot 0) — 1} = \cos 0 + \sqrt{1^2 — 1} = 1 + 0 = 1.$$

• Когда $x = \frac{\pi}{3}$ (из условия $\cos 3x = -1$):

  $$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + \sqrt{\cos^2\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) — 1} = \cos \pi + \sqrt{(-1)^2 — 1} = -1 + 0 = -1.$$

Шаг 4. Область значений функции

Теперь, имея значения $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{3}$, мы видим, что:

• Когда $x = 0$, $y = 1$.
• Когда $x = \frac{\pi}{3}$, $y = -1$.

Таким образом, область значений функции $y = \cos 3x + \sqrt{\cos^2 3x — 1}$ ограничена двумя значениями:

$$y \in \{-1, 1\}.$$

Ответ для пункта а): $y \in \{-1; 1\}$.

б) $y = \sin 2x + \sqrt{\sin^2 4x — 1}$

Для этой функции аналогично будем искать область значений.

Шаг 1. Условие существования выражения под квадратным корнем

Квадратный корень существует только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно. Для выражения $\sqrt{\sin^2 4x — 1}$ это условие будет:

$$\sin^2 4x — 1 \geq 0.$$

Преобразуем неравенство:

$$\sin^2 4x \geq 1.$$

Поскольку $\sin^2 4x$ может быть не больше 1, равенство $\sin^2 4x \geq 1$ возможно только при $\sin^2 4x = 1$. Это означает, что:

$$\sin 4x = \pm 1.$$

Шаг 2. Значения $x$, при которых $\sin 4x = \pm 1$

Решаем уравнение $\sin 4x = 1$ и $\sin 4x = -1$:

• Для $\sin 4x = 1$:

  $$4x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

  Следовательно, $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$.

• Для $\sin 4x = -1$:

  $$4x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

  Следовательно, $x = \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$.

Шаг 3. Подставим найденные значения в функцию

Теперь, когда мы нашли значения $x$, при которых выражение под квадратным корнем неотрицательно, подставим их в саму функцию $y = \sin 2x + \sqrt{\sin^2 4x — 1}$.

• Когда $x = \pm \frac{\pi}{8}$:

  $$y\left(\pm \frac{\pi}{8}\right) = \sin\left(2 \cdot \pm \frac{\pi}{8}\right) + \sqrt{\sin^2 \left(4 \cdot \pm \frac{\pi}{8}\right) — 1} = \sin\left(\pm \frac{\pi}{4}\right) + 0 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

• Когда $x = \frac{3\pi}{8}$:

  $$y\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{3\pi}{8}\right) + \sqrt{\sin^2 \left(4 \cdot \frac{3\pi}{8}\right) — 1} = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) + 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

• Когда $x = \frac{5\pi}{8}$:

  $$y\left(\frac{5\pi}{8}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{5\pi}{8}\right) + \sqrt{\sin^2 \left(4 \cdot \frac{5\pi}{8}\right) — 1} = \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) + 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 4. Область значений функции

Теперь, имея значения $x = \pm \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}$, мы видим, что функция может принимать два значения:

$$y \in \left\{-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right\}.$$

Ответ для пункта б): $y \in \left\{-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right\}$.