ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.58 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $(2x^2-12x+13)\cdot \sin x=3\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }$

б) $(x^2+8x+11)\mathrm{\mid }\cos 2x\mathrm{\mid }=4\cos 2x$

а) Решить уравнение:

$$(2x^2-12x+13)\cdot \sin x=3\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }$$

Решение:

Одно из решений:

$$\sin x=0$$$$x=\pi n$$

Если $\sin x>0$, тогда:

$$(2x^2-12x+13)\cdot \sin x=3\sin x$$$$2x^2-12x+13=3$$$$2x^2-12x+10=0$$$$x^2-6x+5=0$$$$D=6^2-4\cdot 5=36-20=16$$$$x_1=\frac{6-4}{2}=1\text{и}{x}_2=\frac{6+4}{2}=5$$$$(\sin 1>0,\sin 5<0)$$

Если $\sin x<0$, тогда:

$$(2x^2-12x+13)\cdot \sin x=-3\sin x$$$$2x^2-12x+13=-3$$$$2x^2-12x+16=0$$$$x^2-6x+8=0$$$$D=6^2-4\cdot 8=36-32=4$$$$x_1=\frac{6-2}{2}=2\text{и}{x}_2=\frac{6+2}{2}=4$$$$(\sin 2>0,\sin 4<0)$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \pi n;1;4}}$$

б) Решить уравнение:

$$(x^2+8x+11)\mathrm{\mid }\cos 2x\mathrm{\mid }=4\cos 2x$$

Решение:

Одно из решений:

$$\cos 2x=0$$$$2x=\frac{\pi }{2}+\pi n$$$$x=\frac{1}{2}(\frac{\pi }{2}+\pi n)=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}$$

Если $\cos 2x>0$, тогда:

$$(x^2+8x+11)\cos 2x=4\cos 2x$$$$x^2+8x+11=4$$$$x^2+8x+7=0$$$$D=8^2-4\cdot 7=64-28=36$$$$x_1=\frac{-8-6}{2}=-7\text{и}{x}_2=\frac{-8+6}{2}=-1$$$$(\cos (-14)>0\text{и}\cos (-2)<0)$$

Если $\cos 2x<0$, тогда:

$$(x^2+8x+11)\cos 2x=-4\cos 2x$$$$x^2+8x+11=-4$$$$x^2+8x+15=0$$$$D=8^2-4\cdot 15=64-60=4$$$$x_1=\frac{-8-2}{2}=-5\text{и}{x}_2=\frac{-8+2}{2}=-3$$$$(\cos (-10)<0\text{и}\cos (-6)>0)$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2};-7;-5}}$$

а) $(2x^2-12x+13)\cdot \sin x=3\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }$

Давайте решим это уравнение, рассматривая несколько случаев в зависимости от знака $\sin x$.

Шаг 1. Рассмотрим случай $\sin x=0$:

Если $\sin x=0$, то уравнение становится:

$$(2x^2-12x+13)\cdot 0=3\cdot 0,$$

что всегда верно, так как обе стороны уравнения равны нулю. Таким образом, одно из решений:

$$x=\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Шаг 2. Рассмотрим случай $\sin x>0$:

Если $\sin x>0$, то $\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }=\sin x$, и уравнение принимает вид:

$$(2x^2-12x+13)\cdot \sin x=3\sin x\mathrm{.}$$

Разделим обе части на $\sin x$ (при $\sin x\mathrm{\ne }0$):

$$2x^2-12x+13=3.$$

Решаем это уравнение:

$$2x^2-12x+10=0.$$

Упростим его:

$$x^2-6x+5=0.$$

Находим дискриминант:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16.$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{6-4}{2}=1\text{и}{x}_2=\frac{6+4}{2}=5.$$

Теперь проверим, подходят ли эти решения при $\sin x>0$:

• Для $x=1$, $\sin 1>0$, это решение подходит.
• Для $x=5$, $\sin 5<0$, это решение не подходит, так как $\sin x$ должно быть положительным.

Таким образом, при $\sin x>0$ решение $x=1$.

Шаг 3. Рассмотрим случай $\sin x<0$:

Если $\sin x<0$, то $\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }=-\sin x$, и уравнение принимает вид:

$$(2x^2-12x+13)\cdot (-\sin x)=3\sin x\mathrm{.}$$

Разделим обе части на $\sin x$ (при $\sin x\mathrm{\ne }0$):

$$2x^2-12x+13=-3.$$

Решаем это уравнение:

$$2x^2-12x+16=0.$$

Упростим его:

$$x^2-6x+8=0.$$

Находим дискриминант:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4.$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{6-2}{2}=2\text{и}{x}_2=\frac{6+2}{2}=4.$$

Теперь проверим, подходят ли эти решения при $\sin x<0$:

• Для $x=2$, $\sin 2>0$, это решение не подходит.
• Для $x=4$, $\sin 4<0$, это решение подходит.

Таким образом, при $\sin x<0$ решение $x=4$.

Ответ для пункта а:

$$x=\pi n;1;4.$$

б) $(x^2+8x+11)\mathrm{\mid }\cos 2x\mathrm{\mid }=4\cos 2x$

Рассмотрим это уравнение, где $\cos 2x$ — это косинус двойного угла. Мы рассмотрим три возможных случая: $\cos 2x=0$, $\cos 2x>0$, и $\cos 2x<0$.

Шаг 1. Рассмотрим случай $\cos 2x=0$:

Если $\cos 2x=0$, то уравнение становится:

$$(x^2+8x+11)\cdot 0=4\cdot 0,$$

что всегда верно. Таким образом, одно из решений:

$$2x=\frac{\pi }{2}+\pi n\Rightarrow x=\frac{1}{2}(\frac{\pi }{2}+\pi n)=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 2. Рассмотрим случай $\cos 2x>0$:

Если $\cos 2x>0$, то $\mathrm{\mid }\cos 2x\mathrm{\mid }=\cos 2x$, и уравнение принимает вид:

$$(x^2+8x+11)\cos 2x=4\cos 2x\mathrm{.}$$

Разделим обе части на $\cos 2x$ (при $\cos 2x\mathrm{\ne }0$):

$$x^2+8x+11=4.$$

Решаем это уравнение:

$$x^2+8x+7=0.$$

Находим дискриминант:

$$D=8^2-4\cdot 7=64-28=36.$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-8-6}{2}=-7\text{и}{x}_2=\frac{-8+6}{2}=-1.$$

Теперь проверим, подходят ли эти решения при $\cos 2x>0$:

• Для $x=-7$, $\cos (-14)>0$, это решение подходит.
• Для $x=-1$, $\cos (-2)<0$, это решение не подходит.

Таким образом, при $\cos 2x>0$ решение $x=-7$.

Шаг 3. Рассмотрим случай $\cos 2x<0$:

Если $\cos 2x<0$, то $\mathrm{\mid }\cos 2x\mathrm{\mid }=-\cos 2x$, и уравнение принимает вид:

$$(x^2+8x+11)\cos 2x=-4\cos 2x\mathrm{.}$$

Разделим обе части на $\cos 2x$ (при $\cos 2x\mathrm{\ne }0$):

$$x^2+8x+11=-4.$$

Решаем это уравнение:

$$x^2+8x+15=0.$$

Находим дискриминант:

$$D=8^2-4\cdot 15=64-60=4.$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-8-2}{2}=-5\text{и}{x}_2=\frac{-8+2}{2}=-3.$$

Теперь проверим, подходят ли эти решения при $\cos 2x<0$:

• Для $x=-5$, $\cos (-10)<0$, это решение подходит.
• Для $x=-3$, $\cos (-6)>0$, это решение не подходит.

Таким образом, при $\cos 2x<0$ решение $x=-5$.

Ответ для пункта б:

$$x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2};-7;-5.$$