ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.66 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение с параметром $a$:

а)

$$\sin \left( 2x — \frac{\pi}{3} \right) = \frac{a-1}{a+1};$$ $$2x — \frac{\pi}{3} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{a-1}{a+1} + \pi n;$$ $$2x = \frac{\pi}{3} + (-1)^n \cdot \arcsin \frac{a-1}{a+1} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{6} + (-1)^n \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{a-1}{a+1} + \frac{\pi n}{2};$$

Уравнение имеет решения при:

$$\frac{a-1}{a+1} \geq -1;$$ $$\frac{a-1}{a+1} + 1 \geq 0;$$ $$\frac{a-1 + a + 1}{a+1} \geq 0;$$ $$(a+1) \cdot 2a \geq 0;$$ $$a < -1 \text{ и } a \geq 0;$$

Уравнение имеет решения при:

$$\frac{a-1}{a+1} \leq 1;$$ $$\frac{a-1}{a+1} — 1 \leq 0;$$ $$\frac{a-1 — a — 1}{a+1} \leq 0;$$ $$\frac{-2}{a+1} \leq 0;$$ $$a+1 > 0;$$ $$a > -1;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{6} + (-1)^n \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{a-1}{a+1} + \frac{\pi n}{2}, \text{ если } a \geq 0;$$

нет решений, если $a < 0$.

б)

$$\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{2a-1}{a-2};$$ $$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{2a-1}{a-2} + 2\pi n;$$ $$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} \pm \arccos \frac{2a-1}{a-2} + 2\pi n;$$ $$x = -\frac{\pi}{2} \pm 2 \arccos \frac{2a-1}{a-2} + 4\pi n;$$

Уравнение имеет решения при:

$$\frac{2a-1}{a-2} \geq -1;$$ $$\frac{2a-1}{a-2} + 1 \geq 0;$$ $$\frac{2a-1 + a — 2}{a-2} \geq 0;$$ $$(3a-3)(a-2) \geq 0;$$ $$a \leq 1 \text{ и } a > 2;$$

Уравнение имеет решения при:

$$\frac{2a-1}{a-2} \leq 1;$$ $$\frac{2a-1}{a-2} — 1 \leq 0;$$ $$\frac{2a-1 — a + 2}{a-2} \leq 0;$$ $$\frac{a+1}{a-2} \leq 0;$$ $$(a+1)(a-2) \leq 0;$$ $$-1 \leq a < 2;$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{2} \pm 2 \arccos \frac{2a-1}{a-2} + 4\pi n, \text{ если } -1 \leq a \leq 1;$$

нет решений, если $a < -1$ или $a > 1$.

а)

Уравнение:

$$\sin \left( 2x — \frac{\pi}{3} \right) = \frac{a-1}{a+1}$$

Шаг 1: Преобразуем уравнение в удобную форму

Используем свойство синуса:

$$\sin \left( 2x — \frac{\pi}{3} \right) = \frac{a-1}{a+1}$$

Для решения уравнения, можно воспользоваться общей формулой для синуса:

$$\sin(\theta) = y \implies \theta = \arcsin(y) + 2k\pi \quad \text{или} \quad \theta = \pi — \arcsin(y) + 2k\pi$$

Таким образом, мы получаем:

$$2x — \frac{\pi}{3} = \arcsin \left( \frac{a-1}{a+1} \right) + 2n\pi \quad \text{или} \quad 2x — \frac{\pi}{3} = \pi — \arcsin \left( \frac{a-1}{a+1} \right) + 2n\pi$$

Шаг 2: Изолируем $x$

Для первого случая:

$$2x = \frac{\pi}{3} + \arcsin \left( \frac{a-1}{a+1} \right) + 2n\pi$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \arcsin \left( \frac{a-1}{a+1} \right) + n\pi$$

Для второго случая:

$$2x = \frac{\pi}{3} + \pi — \arcsin \left( \frac{a-1}{a+1} \right) + 2n\pi$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} — \frac{1}{2} \arcsin \left( \frac{a-1}{a+1} \right) + n\pi$$ $$x = \frac{2\pi}{3} — \frac{1}{2} \arcsin \left( \frac{a-1}{a+1} \right) + n\pi$$

Теперь у нас есть два выражения для $x$:

$$x = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \arcsin \left( \frac{a-1}{a+1} \right) + n\pi$$

или

$$x = \frac{2\pi}{3} — \frac{1}{2} \arcsin \left( \frac{a-1}{a+1} \right) + n\pi$$

Шаг 3: Определим область существования решения

Рассмотрим, при каких значениях $a$ существует решение. Для этого необходимо, чтобы аргумент арксинуса $\frac{a-1}{a+1}$ находился в промежутке от -1 до 1, так как арксинус определён только для значений в этом интервале.

Таким образом, нужно решить:

$$-1 \leq \frac{a-1}{a+1} \leq 1$$

3.1. Решим неравенство $\frac{a-1}{a+1} \geq -1$:

$$\frac{a-1}{a+1} \geq -1$$

Добавим 1 к обеим частям неравенства:

$$\frac{a-1}{a+1} + 1 \geq 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a-1 + a + 1}{a+1} \geq 0$$ $$\frac{2a}{a+1} \geq 0$$

Это неравенство выполняется при $a \geq 0$ или $a < -1$. То есть:

$$a < -1 \quad \text{или} \quad a \geq 0$$

3.2. Решим неравенство $\frac{a-1}{a+1} \leq 1$:

$$\frac{a-1}{a+1} \leq 1$$

Отнимем 1 от обеих частей:

$$\frac{a-1}{a+1} — 1 \leq 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a-1 — a — 1}{a+1} \leq 0$$ $$\frac{-2}{a+1} \leq 0$$

Это неравенство выполняется при $a > -1$, так как знаменатель должен быть положительным.

Таким образом, для существования решения, $a$ должно быть больше -1:

$$a > -1$$

Шаг 4: Выводы по области решений

Из предыдущих шагов получаем, что решение существует при $a \geq 0$, так как пересекаются условия $a < -1$ и $a > -1$, а также $a \geq 0$.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{6} + (-1)^n \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{a-1}{a+1} + \frac{\pi n}{2}, \text{ если } a \geq 0;$$

нет решений, если $a < 0$.

б)

Уравнение:

$$\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{2a-1}{a-2}$$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Используем свойство косинуса:

$$\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{2a-1}{a-2}$$

Используя формулу для косинуса:

$$\cos(\theta) = y \implies \theta = \pm \arccos(y) + 2k\pi$$

получаем два случая для аргумента косинуса:

$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \left( \frac{2a-1}{a-2} \right) + 2n\pi$$

Шаг 2: Изолируем $x$

Для первого случая:

$$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \arccos \left( \frac{2a-1}{a-2} \right) + 2n\pi$$ $$x = -\frac{\pi}{2} + 2 \arccos \left( \frac{2a-1}{a-2} \right) + 4n\pi$$

Для второго случая:

$$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} — \arccos \left( \frac{2a-1}{a-2} \right) + 2n\pi$$ $$x = -\frac{\pi}{2} — 2 \arccos \left( \frac{2a-1}{a-2} \right) + 4n\pi$$

Шаг 3: Определим область существования решения

Рассмотрим, при каких значениях $a$ существует решение. Для этого необходимо, чтобы аргумент арккосинуса $\frac{2a-1}{a-2}$ находился в промежутке от -1 до 1.

Решаем неравенство:

$$-1 \leq \frac{2a-1}{a-2} \leq 1$$

3.1. Решим неравенство $\frac{2a-1}{a-2} \geq -1$:

$$\frac{2a-1}{a-2} \geq -1$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2a-1 + a — 2}{a-2} \geq 0$$ $$\frac{3a — 3}{a-2} \geq 0$$

Это неравенство выполняется при $a \leq 1$ или $a > 2$.

3.2. Решим неравенство $\frac{2a-1}{a-2} \leq 1$:

$$\frac{2a-1}{a-2} \leq 1$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2a-1 — a + 2}{a-2} \leq 0$$ $$\frac{a+1}{a-2} \leq 0$$

Это неравенство выполняется при $-1 \leq a < 2$.

Шаг 4: Выводы по области решений

Пересечение условий:

$$-1 \leq a \leq 1$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{2} \pm 2 \arccos \left( \frac{2a-1}{a-2} \right) + 4n\pi, \text{ если } -1 \leq a \leq 1;$$

нет решений, если $a < -1$ или $a > 1$.