ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.69 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра $a$ неравенство верно при любом $x$:

а) $a \cos x — 2 < 0$;
$a \cos x < 2$;

1) Если $a < 0$, тогда:

$$\cos x > \frac{2}{a};$$ $$\frac{2}{a} < -1;$$ $$\frac{2}{a} + 1 < 0;$$ $$\frac{2 + a}{a} < 0;$$ $$(a + 2)a < 0;$$ $$-2 < a < 0;$$

2) Если $a > 0$, тогда:

$$\cos x < \frac{2}{a};$$ $$\frac{2}{a} > 1;$$ $$1 — \frac{2}{a} < 0;$$ $$\frac{a — 2}{a} < 0;$$ $$a(a — 2) < 0;$$ $$0 < a < 2;$$

Ответ: $a \in (-2; 2)$.

б) $(2a — 3) \cdot \sin x + 1 \geq 0$;
$(2a — 3) \cdot \sin x \geq -1$;

1) Если $(2a — 3) < 0$, тогда:

$$\sin x \leq -\frac{1}{2a — 3};$$ $$-\frac{1}{2a — 3} \geq 1;$$ $$1 + \frac{1}{2a — 3} \leq 0;$$ $$\frac{2a — 3 + 1}{2a — 3} \leq 0;$$ $$(2a — 2)(2a — 3) \leq 0;$$ $$1 \leq a < \frac{3}{2};$$

2) Если $(2a — 3) > 0$, тогда:

$$\sin x \geq -\frac{1}{2a — 3};$$ $$-\frac{1}{2a — 3} \leq -1;$$ $$\frac{1}{2a — 3} \geq 1;$$ $$1 — \frac{1}{2a — 3} \leq 0;$$ $$\frac{2a — 3 — 1}{2a — 3} \leq 0;$$ $$(2a — 3)(2a — 4) \leq 0;$$ $$\frac{3}{2} < a \leq 2;$$

Ответ: $a \in [1; 2]$.

а) $a \cos x — 2 < 0$;

Неравенство:

$$a \cos x — 2 < 0$$

Перепишем его как:

$$a \cos x < 2$$

Теперь решим это неравенство для разных значений $a$.

1) Если $a < 0$, тогда:

Когда $a < 0$, для $a \cos x < 2$ важно, чтобы $\cos x$ был таким, чтобы $a \cos x$ не превышало 2. Из-за того, что $a$ отрицательно, нам нужно, чтобы $\cos x$ было больше какого-то значения, чтобы произведение оставалось меньше 2.

Из $a \cos x < 2$ получаем:

$$\cos x < \frac{2}{a}$$

Поскольку $\cos x$ принимает значения на интервале от -1 до 1, для того чтобы неравенство выполнялось при любых $x$, необходимо:

$$\frac{2}{a} < -1$$

Решим это неравенство:

$$\frac{2}{a} < -1$$

Умножаем обе части неравенства на $a$ (при этом знак неравенства меняется, так как $a < 0$):

$$2 > a$$

Теперь решим:

$$\frac{2}{a} + 1 < 0$$ $$\frac{2 + a}{a} < 0$$

Чтобы это неравенство выполнялось, нужно, чтобы выражение $\frac{2 + a}{a}$ было отрицательным. Для этого $a$ должно быть в интервале $(-2, 0)$. Пояснение: при $a \in (-2, 0)$ числитель $2 + a$ будет положительным, а знаменатель $a$ отрицательным, что в сумме даст отрицательное значение.

Итак, ответ для $a < 0$:

$$-2 < a < 0$$

2) Если $a > 0$, тогда:

Когда $a > 0$, неравенство $a \cos x < 2$ будет выполнено, если $\cos x$ не превышает определённого значения. Сначала получаем:

$$\cos x < \frac{2}{a}$$

Для этого неравенства важно, чтобы:

$$\frac{2}{a} > 1$$

Решим:

$$\frac{2}{a} > 1$$

Умножим обе части на $a$ (при этом знак неравенства остаётся прежним, так как $a > 0$):

$$2 > a$$

Следовательно:

$$a < 2$$

Теперь получаем:

$$1 — \frac{2}{a} < 0$$ $$\frac{a — 2}{a} < 0$$

Неравенство $\frac{a — 2}{a} < 0$ выполняется при $0 < a < 2$, так как $a$ положительно и $a — 2$ отрицательно.

Таким образом, ответ для $a > 0$:

$$0 < a < 2$$

Ответ для части а):

$$a \in (-2; 2)$$

б) $(2a — 3) \cdot \sin x + 1 \geq 0$;

Неравенство:

$$(2a — 3) \cdot \sin x + 1 \geq 0$$

Перепишем его как:

$$(2a — 3) \cdot \sin x \geq -1$$

1) Если $2a — 3 < 0$, тогда:

Когда $2a — 3 < 0$, это означает, что $a < \frac{3}{2}$. В этом случае неравенство:

$$(2a — 3) \cdot \sin x \geq -1$$

будет выполняться, если $\sin x$ будет достаточно маленьким. Разделим обе части на $2a — 3$ (при этом знак неравенства изменится, так как $2a — 3 < 0$):

$$\sin x \leq -\frac{1}{2a — 3}$$

Для того чтобы $\sin x \leq -\frac{1}{2a — 3}$ выполнялось при любых $x$, необходимо, чтобы $-\frac{1}{2a — 3} \geq 1$, так как $\sin x$ может быть в интервале от -1 до 1. Решаем:

$$-\frac{1}{2a — 3} \geq 1$$

Умножим обе части неравенства на $2a — 3$ (при этом знак неравенства изменится):

$$1 + \frac{1}{2a — 3} \leq 0$$

Теперь преобразуем:

$$\frac{2a — 3 + 1}{2a — 3} \leq 0$$ $$(2a — 2)(2a — 3) \leq 0$$

Теперь решим это неравенство. Корни соответствующего квадратного уравнения:

$$2a — 2 = 0 \quad \text{и} \quad 2a — 3 = 0$$

Дают $a = 1$ и $a = \frac{3}{2}$. Интервал, на котором произведение $(2a — 2)(2a — 3) \leq 0$, это $1 \leq a < \frac{3}{2}$.

Итак, для $2a — 3 < 0$, $a \in [1, \frac{3}{2})$.

2) Если $2a — 3 > 0$, тогда:

Когда $2a — 3 > 0$, это означает, что $a > \frac{3}{2}$. В этом случае неравенство:

$$(2a — 3) \cdot \sin x \geq -1$$

будет выполняться, если $\sin x$ будет достаточно большим. Разделим обе части на $2a — 3$ (знак неравенства остаётся прежним, так как $2a — 3 > 0$):

$$\sin x \geq -\frac{1}{2a — 3}$$

Для того чтобы $\sin x \geq -\frac{1}{2a — 3}$ выполнялось при любых $x$, необходимо, чтобы $-\frac{1}{2a — 3} \leq -1$, то есть:

$$\frac{1}{2a — 3} \geq 1$$

Решаем:

$$1 — \frac{1}{2a — 3} \leq 0$$ $$\frac{2a — 3 — 1}{2a — 3} \leq 0$$ $$(2a — 3)(2a — 4) \leq 0$$

Корни этого уравнения:

$$2a — 3 = 0 \quad \text{и} \quad 2a — 4 = 0$$

Дают $a = \frac{3}{2}$ и $a = 2$. Интервал, на котором произведение $(2a — 3)(2a — 4) \leq 0$, это $\frac{3}{2} < a \leq 2$.

Итак, для $2a — 3 > 0$, $a \in (\frac{3}{2}, 2]$.

Ответ для части б):

$$a \in [1, 2]$$