ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $(2 \cos x + 1)(2 \sin x — \sqrt{3}) = 0$;

Первое уравнение:

$$2 \cos x + 1 = 0;$$ $$2 \cos x = -1;$$ $$\cos x = -\frac{1}{2};$$ $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \sin x — \sqrt{3} = 0;$$ $$2 \sin x = \sqrt{3};$$ $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Ответ: $x_1 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \, x_2 = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n.$

б) $2 \cos x — 3 \sin x \cdot \cos x = 0;$

$$\cos x \cdot (2 — 3 \sin x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 — 3 \sin x = 0;$$ $$2 = 3 \sin x;$$ $$\sin x = \frac{2}{3};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n;$$

Ответ: $x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi n; \, x_2 = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n.$

в) $4 \sin^2 x — 3 \sin x = 0;$

$$\sin x \cdot (4 \sin x — 3) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$4 \sin x — 3 = 0;$$ $$4 \sin x = 3;$$ $$\sin x = \frac{3}{4};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n;$$

Ответ: $x_1 = \pi n; \, x_2 = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n.$

г) $2 \sin^2 x — 1 = 0;$

$$2 \sin^2 x = 1;$$ $$\sin^2 x = \frac{1}{2};$$ $$\sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}};$$

Первое уравнение:

$$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Общее значение:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2};$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}.$

а) $(2 \cos x + 1)(2 \sin x — \sqrt{3}) = 0$

Это уравнение можно решить методом разложения на два уравнения.

Шаг 1: Разделим уравнение на два уравнения

Имеем произведение двух выражений, равное нулю. Для того, чтобы произведение было равно нулю, хотя бы одно из множителей должно быть равно нулю. То есть:

$2 \cos x + 1 = 0$

$2 \sin x — \sqrt{3} = 0$

Шаг 2: Решаем первое уравнение $2 \cos x + 1 = 0$

Решим уравнение:

$$2 \cos x + 1 = 0$$

Переносим $1$ на другую сторону:

$$2 \cos x = -1$$

Делим обе части на 2:

$$\cos x = -\frac{1}{2}.$$

Теперь ищем решения для $\cos x = -\frac{1}{2}$. Косинус равен $-\frac{1}{2}$ при углах:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n.$$

Так как $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Решаем второе уравнение $2 \sin x — \sqrt{3} = 0$

Теперь решим второе уравнение:

$$2 \sin x — \sqrt{3} = 0.$$

Переносим $\sqrt{3}$ на другую сторону:

$$2 \sin x = \sqrt{3}.$$

Делим обе части на 2:

$$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Теперь ищем решения для $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ при углах:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Шаг 4: Ответ

Итак, у нас есть два возможных решения для $x$:

$$x_1 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad x_2 = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Ответ: $x_1 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \, x_2 = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$.

б) $2 \cos x — 3 \sin x \cdot \cos x = 0$

Шаг 1: Разделим уравнение на два выражения

Это уравнение можно переписать в виде:

$$\cos x \cdot (2 — 3 \sin x) = 0.$$

Для того чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю:

$\cos x = 0$

$2 — 3 \sin x = 0$

Шаг 2: Решаем первое уравнение $\cos x = 0$

Решим уравнение:

$$\cos x = 0.$$

Косинус равен нулю при углах:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Шаг 3: Решаем второе уравнение $2 — 3 \sin x = 0$

Решим второе уравнение:

$$2 — 3 \sin x = 0.$$

Переносим 2 на другую сторону:

$$3 \sin x = 2,$$

и делим на 3:

$$\sin x = \frac{2}{3}.$$

Теперь находим решение для $\sin x = \frac{2}{3}$. Синус равен $\frac{2}{3}$ при углах:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n.$$

Шаг 4: Ответ

Итак, решения для $x$ следующие:

$$x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x_2 = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n.$$

Ответ: $x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi n, \, x_2 = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n$.

в) $4 \sin^2 x — 3 \sin x = 0$

Шаг 1: Разделим уравнение на два выражения

Перепишем уравнение:

$$\sin x \cdot (4 \sin x — 3) = 0.$$

Для того чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю:

$\sin x = 0$

$4 \sin x — 3 = 0$

Шаг 2: Решаем первое уравнение $\sin x = 0$

Решим уравнение:

$$\sin x = 0.$$

Синус равен нулю при углах:

$$x = \pi n.$$

Шаг 3: Решаем второе уравнение $4 \sin x — 3 = 0$

Решим уравнение:

$$4 \sin x — 3 = 0.$$

Переносим 3 на другую сторону:

$$4 \sin x = 3,$$

и делим на 4:

$$\sin x = \frac{3}{4}.$$

Теперь находим решение для $\sin x = \frac{3}{4}$. Синус равен $\frac{3}{4}$ при углах:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n.$$

Шаг 4: Ответ

Итак, решения для $x$ следующие:

$$x_1 = \pi n, \quad x_2 = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n.$$

Ответ: $x_1 = \pi n, \, x_2 = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n$.

г) $2 \sin^2 x — 1 = 0$

Шаг 1: Перепишем уравнение

Перепишем уравнение:

$$2 \sin^2 x = 1.$$

Делим обе стороны на 2:

$$\sin^2 x = \frac{1}{2}.$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Шаг 2: Решаем два уравнения для $\sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, решение:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Для $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, решение:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Шаг 3: Общее решение

Объединяя оба решения, получаем:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}.$$

Шаг 4: Ответ

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}.$

Итоговые ответы:

а) $x_1 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \, x_2 = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$

б) $x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi n, \, x_2 = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n$

в) $x_1 = \pi n, \, x_2 = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n$

г) $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$