ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $5 \sin^2 x — 14 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x = 2$;

б) $3 \sin^2 x — \sin x \cdot \cos x = 2$;

в) $2 \cos^2 x — \sin x \cdot \cos x + 5 \sin^2 x = 3$;

г) $4 \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x = 3$

а) $5 \sin^2 x — 14 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x = 2$;
$5 \sin^2 x — 14 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$;
$3 \sin^2 x — 14 \sin x \cdot \cos x — 5 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x$;
$3 \operatorname{tg}^2 x — 14 \operatorname{tg} x — 5 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:
$3y^2 — 14y — 5 = 0$;
$D = 14^2 + 4 \cdot 3 \cdot 5 = 196 + 60 = 256$, тогда:
$y_1 = \frac{14 — 16}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$;
$y_2 = \frac{14 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$;

Первое значение:
$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{3}$;
$x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n$;

Второе значение:
$\operatorname{tg} x = 5$;
$x = \operatorname{arctg} 5 + \pi n$;

Ответ: $-\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n; \operatorname{arctg} 5 + \pi n$.

б) $3 \sin^2 x — \sin x \cdot \cos x = 2$;
$3 \sin^2 x — \sin x \cdot \cos x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$;
$\sin^2 x — \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x$;
$\operatorname{tg}^2 x — \operatorname{tg} x — 2 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:
$y^2 — y — 2 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$ и $y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$;

Первое значение:
$\operatorname{tg} x = -1$;
$x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$;

Второе значение:
$\operatorname{tg} x = 2$;
$x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n; \operatorname{arctg} 2 + \pi n$.

в) $2 \cos^2 x — \sin x \cdot \cos x + 5 \sin^2 x = 3$;
$2 \cos^2 x — \sin x \cdot \cos x + 5 \sin^2 x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$;
$2 \sin^2 x — \sin x \cdot \cos x — \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x$;
$2 \operatorname{tg}^2 x — \operatorname{tg} x — 1 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:
$2y^2 — y — 1 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$y_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$;
$y_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$;

Первое значение:
$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{2}$;
$x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n$;

Второе значение:
$\operatorname{tg} x = 1$;
$x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Ответ: $-\operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n$.

г) $4 \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x = 3$;
$4 \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$;
$\sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x$;
$\operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x — 3 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:
$y^2 — 2y — 3 = 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:
$y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1$ и $y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$;

Первое значение:
$\operatorname{tg} x = -1$;
$x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$;

Второе значение:
$\operatorname{tg} x = 3$;
$x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n; \operatorname{arctg} 3 + \pi n$.

а) Уравнение:

$5 \sin^2 x — 14 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x = 2$

Шаг 1: Преобразуем уравнение.

Переносим $2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$ на правую часть уравнения:

$$5 \sin^2 x — 14 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x — 2 \sin^2 x — 2 \cos^2 x = 0$$

Упрощаем:

$$(5 \sin^2 x — 2 \sin^2 x) — 14 \sin x \cdot \cos x — (3 \cos^2 x + 2 \cos^2 x) = 0$$ $$3 \sin^2 x — 14 \sin x \cdot \cos x — 5 \cos^2 x = 0$$

Шаг 2: Разделим на $\cos^2 x$.

Так как $\cos^2 x \neq 0$, делим все выражения на $\cos^2 x$:

$$3 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} — 14 \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos^2 x} — 5 = 0$$

Используя тригонометрическую идентичность $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:

$$3 \tan^2 x — 14 \tan x — 5 = 0$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение.

Пусть $y = \tan x$, тогда уравнение превращается в:

$$3y^2 — 14y — 5 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-14)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256$$

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы для решения квадратных уравнений:

$$y_1 = \frac{-(-14) — \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{14 — 16}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ $$y_2 = \frac{-(-14) + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{14 + 16}{6} = \frac{30}{6} = 5$$

Шаг 4: Решаем для $x$.

Для $y_1 = -\frac{1}{3}$, то есть $\tan x = -\frac{1}{3}$, получаем:

$$x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n$$

Для $y_2 = 5$, то есть $\tan x = 5$, получаем:

$$x = \operatorname{arctg} 5 + \pi n$$

Ответ для пункта (а):

$$-\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n; \operatorname{arctg} 5 + \pi n$$

б) Уравнение:

$3 \sin^2 x — \sin x \cdot \cos x = 2$

Шаг 1: Преобразуем уравнение.

Переносим $2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$ на правую часть:

$$3 \sin^2 x — \sin x \cdot \cos x — 2 \sin^2 x — 2 \cos^2 x = 0$$

Упрощаем:

$$\sin^2 x — \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x = 0$$

Шаг 2: Разделим на $\cos^2 x$.

Делим на $\cos^2 x$:

$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} — \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos^2 x} — 2 = 0$$

Используем $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:

$$\tan^2 x — \tan x — 2 = 0$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение.

Пусть $y = \tan x$, тогда уравнение становится:

$$y^2 — y — 2 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2} = \frac{1 — 3}{2} = -1$$ $$y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

Шаг 4: Решаем для $x$.

Для $y_1 = -1$, то есть $\tan x = -1$, получаем:

$$x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Для $y_2 = 2$, то есть $\tan x = 2$, получаем:

$$x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n$$

Ответ для пункта (б):

$$-\frac{\pi}{4} + \pi n; \operatorname{arctg} 2 + \pi n$$

в) Уравнение:

$2 \cos^2 x — \sin x \cdot \cos x + 5 \sin^2 x = 3$

Шаг 1: Преобразуем уравнение.

Переносим $3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$ на правую часть:

$$2 \cos^2 x — \sin x \cdot \cos x + 5 \sin^2 x — 3 \sin^2 x — 3 \cos^2 x = 0$$

Упрощаем:

$$2 \sin^2 x — \sin x \cdot \cos x — \cos^2 x = 0$$

Шаг 2: Разделим на $\cos^2 x$.

Делим на $\cos^2 x$:

$$\frac{2 \sin^2 x}{\cos^2 x} — \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos^2 x} — 1 = 0$$

Используем $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:

$$2 \tan^2 x — \tan x — 1 = 0$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение.

Пусть $y = \tan x$, тогда уравнение становится:

$$2y^2 — y — 1 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 3}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$$

Шаг 4: Решаем для $x$.

Для $y_1 = -\frac{1}{2}$, то есть $\tan x = -\frac{1}{2}$, получаем:

$$x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n$$

Для $y_2 = 1$, то есть $\tan x = 1$, получаем:

$$x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ для пункта (в):

$$-\operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n$$

г) Уравнение:

$4 \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x = 3$

Шаг 1: Преобразуем уравнение.

Переносим $3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$ на правую часть:

$$4 \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x — 3 \sin^2 x — 3 \cos^2 x = 0$$

Упрощаем:

$$\sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x = 0$$

Шаг 2: Разделим на $\cos^2 x$.

Делим на $\cos^2 x$:

$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} — \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{\cos^2 x} — 3 = 0$$

Используем $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:

$$\tan^2 x — 2 \tan x — 3 = 0$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение.

Пусть $y = \tan x$, тогда уравнение становится:

$$y^2 — 2y — 3 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2} = \frac{2 — 4}{2} = -1$$ $$y_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Шаг 4: Решаем для $x$.

Для $y_1 = -1$, то есть $\tan x = -1$, получаем:

$$x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Для $y_2 = 3$, то есть $\tan x = 3$, получаем:

$$x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n$$

Ответ для пункта (г):

$$-\frac{\pi}{4} + \pi n; \operatorname{arctg} 3 + \pi n$$