ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $| \operatorname{ctg} x | = \operatorname{ctg} x + \frac{1}{\sin x}$

Если $\operatorname{ctg} x \geq 0$, тогда:

$$\operatorname{ctg} x = \operatorname{ctg} x + \frac{1}{\sin x};$$ $$\frac{1}{\sin x} = 0;$$ $$0 \cdot \sin x = 1 \quad \text{— корней нет;}$$

Если $\operatorname{ctg} x < 0$, тогда:

$$-\operatorname{ctg} x = \operatorname{ctg} x + \frac{1}{\sin x};$$ $$\frac{1}{\sin x} = -2 \operatorname{ctg} x;$$ $$\frac{1}{\sin x} = \frac{-2 \cos x}{\sin x};$$ $$-2 \cos x = 1;$$ $$\cos x = -\frac{1}{2};$$ $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2 \pi n;$$ $$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2 \pi n = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n;$$ $$\left( \operatorname{ctg} \left( -\frac{2 \pi}{3} \right) > 0, \; \operatorname{ctg} \frac{2 \pi}{3} < 0 \right);$$

Ответ: $\frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n$.

б) $\operatorname{tg} x + \frac{1}{9 \operatorname{ctg} x} = \sqrt{\frac{1}{\cos^2 x}} — 1 — 1$

Преобразуем правую часть:

$$\sqrt{\frac{1}{\cos^2 x}} = \sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 x};$$ $$\operatorname{tg} x + \frac{1}{9 \operatorname{ctg} x} = \sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 x} — 2;$$ $$\operatorname{tg} x + \frac{1}{9 \operatorname{tg} x} = |\operatorname{tg} x| — 1;$$

Если $\operatorname{tg} x > 0$, тогда:

$$\operatorname{tg} x + \frac{1}{9 \operatorname{tg} x} = \operatorname{tg} x — 1;$$ $$\frac{1}{9 \operatorname{tg} x} = -1;$$ $$9 \operatorname{tg} x = -1;$$ $$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{9} < 0;$$

Если $\operatorname{tg} x < 0$, тогда:

$$\operatorname{tg} x + \frac{1}{9 \operatorname{tg} x} = -\operatorname{tg} x — 1;$$ $$2 \operatorname{tg} x + \frac{1}{9 \operatorname{tg} x} + 1 = 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$2y + \frac{1}{9y} + 1 = 0 \quad | \cdot 9y;$$ $$18y^2 + 9y + 1 = 0;$$ $$D = 9^2 — 4 \cdot 18 = 81 — 72 = 9, \quad \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-9 — 3}{2 \cdot 18} = \frac{-12}{36} = -\frac{1}{3} < 0;$$ $$y_2 = \frac{-9 + 3}{2 \cdot 18} = \frac{-6}{36} = -\frac{1}{6} < 0;$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{3};$$ $$x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n;$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{6};$$ $$x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{6} + \pi n;$$

Ответ: $-\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n; \; -\operatorname{arctg} \frac{1}{6} + \pi n$.

а) $| \operatorname{ctg} x | = \operatorname{ctg} x + \frac{1}{\sin x}$

Давайте детально разберем это уравнение. Мы имеем абсолютное значение функции $\operatorname{ctg} x$, которое обозначает:

$$| \operatorname{ctg} x | = \begin{cases} \operatorname{ctg} x, & \text{если } \operatorname{ctg} x \geq 0, \\ -\operatorname{ctg} x, & \text{если } \operatorname{ctg} x < 0. \end{cases}$$

1) Если $\operatorname{ctg} x \geq 0$:

В этом случае мы имеем:

$$| \operatorname{ctg} x | = \operatorname{ctg} x.$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$\operatorname{ctg} x = \operatorname{ctg} x + \frac{1}{\sin x}.$$

Теперь вычитаем $\operatorname{ctg} x$ с обеих сторон:

$$0 = \frac{1}{\sin x}.$$

Это уравнение имеет решение, только если $\sin x$ стремится к бесконечности, чего не происходит. Следовательно, такое уравнение не имеет решения. Таким образом, для $\operatorname{ctg} x \geq 0$ решений нет.

2) Если $\operatorname{ctg} x < 0$:

Теперь рассматриваем второй случай, когда $\operatorname{ctg} x < 0$. В этом случае $| \operatorname{ctg} x | = -\operatorname{ctg} x$, и уравнение будет выглядеть так:

$$-\operatorname{ctg} x = \operatorname{ctg} x + \frac{1}{\sin x}.$$

Переносим все слагаемые, содержащие $\operatorname{ctg} x$, на одну сторону:

$$-\operatorname{ctg} x — \operatorname{ctg} x = \frac{1}{\sin x},$$ $$-2 \operatorname{ctg} x = \frac{1}{\sin x}.$$

Теперь выражаем $\operatorname{ctg} x$ через $\cos x$ и $\sin x$:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}.$$

Подставляем это в уравнение:

$$-2 \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sin x}.$$

Умножим обе части уравнения на $\sin x$ (при $\sin x \neq 0$):

$$-2 \cos x = 1.$$

Решаем это уравнение:

$$\cos x = -\frac{1}{2}.$$

Теперь находим $x$. Мы знаем, что $\cos x = -\frac{1}{2}$ при $x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n$. Так как $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, то:

$$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Теперь проверим, что $\operatorname{ctg} \left( -\frac{2\pi}{3} \right) > 0$ и $\operatorname{ctg} \frac{2\pi}{3} < 0$, что соответствует исходным условиям задачи. Ответом будет:

$$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

б) $\operatorname{tg} x + \frac{1}{9 \operatorname{ctg} x} = \sqrt{\frac{1}{\cos^2 x}} — 1 — 1$

Рассмотрим это уравнение и развернем решение по шагам.

1) Преобразуем правую часть уравнения:

Мы знаем, что $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \operatorname{tg}^2 x$, поэтому:

$$\sqrt{\frac{1}{\cos^2 x}} = \sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 x}.$$

Теперь подставляем это в исходное уравнение:

$$\operatorname{tg} x + \frac{1}{9 \operatorname{ctg} x} = \sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 x} — 2.$$

Далее, так как $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$, можно подставить:

$$\operatorname{tg} x + \frac{1}{9 \operatorname{tg} x} = |\operatorname{tg} x| — 1.$$

2) Рассмотрим два случая для $\operatorname{tg} x$:

a) Если $\operatorname{tg} x > 0$:

Тогда:

$$\operatorname{tg} x + \frac{1}{9 \operatorname{tg} x} = \operatorname{tg} x — 1.$$

Теперь вычитаем $\operatorname{tg} x$ с обеих сторон:

$$\frac{1}{9 \operatorname{tg} x} = -1.$$

Умножаем обе стороны на 9:

$$9 \operatorname{tg} x = -1,$$ $$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{9} < 0.$$

Это противоречит нашему допущению, что $\operatorname{tg} x > 0$. Следовательно, решения в этом случае нет.

b) Если $\operatorname{tg} x < 0$:

В этом случае:

$$\operatorname{tg} x + \frac{1}{9 \operatorname{tg} x} = -\operatorname{tg} x — 1.$$

Преобразуем уравнение:

$$2 \operatorname{tg} x + \frac{1}{9 \operatorname{tg} x} + 1 = 0.$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда у нас получается уравнение:

$$2y + \frac{1}{9y} + 1 = 0.$$

Умножим обе части на $9y$:

$$18y^2 + 9y + 1 = 0.$$

Решаем это квадратное уравнение по формуле:

$$D = 9^2 — 4 \cdot 18 \cdot 1 = 81 — 72 = 9.$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-9 — 3}{2 \cdot 18} = \frac{-12}{36} = -\frac{1}{3},$$ $$y_2 = \frac{-9 + 3}{2 \cdot 18} = \frac{-6}{36} = -\frac{1}{6}.$$

3) Первое значение для $y_1 = -\frac{1}{3}$:

$$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{3}.$$ $$x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n.$$

4) Второе значение для $y_2 = -\frac{1}{6}$:

$$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{6}.$$ $$x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{6} + \pi n.$$

Ответ: $x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n$ и $x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{6} + \pi n$.