ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.42 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sin^2 x — 6 \sin x \cdot \cos x + 5 \cos^2 x > 0 \quad | : \cos^2 x;$

Если $\cos x = 0$, тогда:

$$\sin^2 x > 0;$$ $$\sin x \neq 0;$$ $$x \neq \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Если $\cos x \neq 0$, тогда:

$$\operatorname{tg}^2 x — 6 \operatorname{tg} x + 5 > 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$y^2 — 6y + 5 > 0;$$ $$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16;$$ $$y_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;$$ $$(y — 1)(y — 5) > 0;$$ $$y < 1 \quad \text{и} \quad y > 5;$$

Первое неравенство:

$$\operatorname{tg} x < 1;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{5\pi}{4} + \pi n;$$

Второе неравенство:

$$\operatorname{tg} x > 5;$$ $$\operatorname{arctg} 5 + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ:

$$\operatorname{arctg} 5 + \pi n < x < \frac{5\pi}{4} + \pi n.$$

б) $\sin^2 x — 6 \sin x \cdot \cos x + 5 \cos^2 x < 0 \quad | : \cos^2 x;$

Если $\cos x = 0$, тогда:

$$\sin^2 x < 0;$$ $$x \in \varnothing;$$

Если $\cos x \neq 0$, тогда:

$$\operatorname{tg}^2 x — 6 \operatorname{tg} x + 5 < 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$y^2 — 6y + 5 < 0;$$ $$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16;$$ $$y_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;$$ $$(y — 1)(y — 5) < 0;$$ $$1 < y < 5;$$

Первое неравенство:

$$\operatorname{tg} x > 1;$$ $$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе неравенство:

$$\operatorname{tg} x < 5;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \operatorname{arctg} 5 + \pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \operatorname{arctg} 5 + \pi n.$$

в) $\sin^2 x — 3 \sin x \cdot \cos x + 2 \cos^2 x \leq 0 \quad | : \cos^2 x;$

Если $\cos x = 0$, тогда:

$$\sin^2 x \leq 0;$$ $$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$ $$x \in \varnothing;$$

Если $\cos x \neq 0$, тогда:

$$\operatorname{tg}^2 x — 3 \operatorname{tg} x + 2 \leq 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$y^2 — 3y + 2 \leq 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1;$$ $$y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;$$ $$(y — 1)(y — 2) \leq 0;$$ $$1 \leq y \leq 2;$$

Первое неравенство:

$$\operatorname{tg} x \geq 1;$$ $$\frac{\pi}{4} + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе неравенство:

$$\operatorname{tg} x \leq 2;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \operatorname{arctg} 2 + \pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{4} + \pi n \leq x \leq \operatorname{arctg} 2 + \pi n.$$

г) $\sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x \geq 0 \quad | : \cos^2 x;$

Если $\cos x = 0$, тогда:

$$\sin^2 x \geq 0;$$ $$x \in \mathbb{R};$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Если $\cos x \neq 0$, тогда:

$$\operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x — 3 \geq 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$y^2 — 2y — 3 \geq 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16;$$ $$y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;$$ $$(y + 1)(y — 3) \geq 0;$$ $$y \leq -1 \quad \text{и} \quad y \geq 3;$$

Первое неравенство:

$$\operatorname{tg} x \leq -1;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \frac{3\pi}{4} + \pi n;$$

Второе неравенство:

$$\operatorname{tg} x \geq 3;$$ $$\operatorname{arctg} 3 + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ:

$$\operatorname{arctg} 3 + \pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{4} + \pi n.$$

а) $\sin^2 x — 6 \sin x \cdot \cos x + 5 \cos^2 x > 0 \quad | : \cos^2 x;$

Преобразование неравенства

Исходное неравенство:

$$\sin^2 x — 6 \sin x \cdot \cos x + 5 \cos^2 x > 0$$

Делим обе части на $\cos^2 x$ (предполагаем, что $\cos x \neq 0$):

$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} — 6 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + 5 > 0.$$

Мы знаем, что:

$$\frac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{tg} x.$$

Таким образом, неравенство становится:

$$\operatorname{tg}^2 x — 6 \operatorname{tg} x + 5 > 0.$$

Решение квадратного неравенства

Пусть $y = \operatorname{tg} x$. Тогда неравенство превращается в квадратное неравенство:

$$y^2 — 6y + 5 > 0.$$

Для нахождения решений этого неравенства, сначала решим соответствующее квадратное уравнение:

$$y^2 — 6y + 5 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16.$$

Теперь найдем корни уравнения с использованием формулы корней для квадратного уравнения $y_1, y_2$:

$$y_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 4}{2} = 1,$$ $$y_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5.$$

Таким образом, корни уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = 5$.

Теперь разложим квадратное выражение на множители:

$$(y — 1)(y — 5) > 0.$$

Решение неравенства

Чтобы решить неравенство $(y — 1)(y — 5) > 0$, нужно рассмотреть знак произведения на интервалах:

• Если $y < 1$, то оба множителя $(y — 1)$ и $(y — 5)$ отрицательные, и произведение положительное.
• Если $1 < y < 5$, то один множитель положительный, а другой отрицательный, и произведение отрицательное.
• Если $y > 5$, то оба множителя положительные, и произведение положительное.

Таким образом, решение неравенства:

$$y < 1 \quad \text{или} \quad y > 5.$$

Возвращаемся к переменной $\operatorname{tg} x$

Теперь возвращаемся к $\operatorname{tg} x$:

$$\operatorname{tg} x < 1 \quad \text{или} \quad \operatorname{tg} x > 5.$$

Рассмотрим эти два случая отдельно.

Первое неравенство: $\operatorname{tg} x < 1$

$$\operatorname{tg} x < 1.$$

Решение этого неравенства:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Таким образом, решение первого неравенства:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Второе неравенство: $\operatorname{tg} x > 5$

$$\operatorname{tg} x > 5.$$

Решение этого неравенства:

$$\operatorname{arctg} 5 + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Таким образом, решение второго неравенства:

$$\operatorname{arctg} 5 + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Ответ

Объединяя все полученные интервалы, получаем ответ:

$$\operatorname{arctg} 5 + \pi n < x < \frac{5\pi}{4} + \pi n.$$

б) $\sin^2 x — 6 \sin x \cdot \cos x + 5 \cos^2 x < 0 \quad | : \cos^2 x;$

Преобразование неравенства

Аналогично предыдущей части задачи, делим обе части неравенства на $\cos^2 x$, получаем:

$$\operatorname{tg}^2 x — 6 \operatorname{tg} x + 5 < 0.$$

Решение квадратного неравенства

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда неравенство превращается в:

$$y^2 — 6y + 5 < 0.$$

Решим это неравенство аналогично предыдущей части задачи:

$$(y — 1)(y — 5) < 0.$$

Решение неравенства

Мы получаем, что решение этого неравенства:

$$1 < y < 5.$$

Возвращаемся к $\operatorname{tg} x$

Теперь рассматриваем неравенства:

$$1 < \operatorname{tg} x < 5.$$

Решение неравенства $\operatorname{tg} x > 1$

$$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Решение неравенства $\operatorname{tg} x < 5$

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \operatorname{arctg} 5 + \pi n.$$

Ответ

Объединяя все интервалы, получаем ответ:

$$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \operatorname{arctg} 5 + \pi n.$$

в) $\sin^2 x — 3 \sin x \cdot \cos x + 2 \cos^2 x \leq 0 \quad | : \cos^2 x;$

Преобразование неравенства

Делим обе части неравенства на $\cos^2 x$:

$$\operatorname{tg}^2 x — 3 \operatorname{tg} x + 2 \leq 0.$$

Решение квадратного неравенства

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда неравенство превращается в:

$$y^2 — 3y + 2 \leq 0.$$

Решим это неравенство:

$$(y — 1)(y — 2) \leq 0.$$

Решение неравенства

Решение этого неравенства:

$$1 \leq y \leq 2.$$

Возвращаемся к $\operatorname{tg} x$

Теперь рассматриваем:

$$1 \leq \operatorname{tg} x \leq 2.$$

Решение неравенства $\operatorname{tg} x \geq 1$

$$\frac{\pi}{4} + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Решение неравенства $\operatorname{tg} x \leq 2$

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \operatorname{arctg} 2 + \pi n.$$

Ответ

Объединяя все интервалы, получаем ответ:

$$\frac{\pi}{4} + \pi n \leq x \leq \operatorname{arctg} 2 + \pi n.$$

г) $\sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x \geq 0 \quad | : \cos^2 x;$

Преобразование неравенства

Делим обе части неравенства на $\cos^2 x$:

$$\operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x — 3 \geq 0.$$

Решение квадратного неравенства

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда неравенство превращается в:

$$y^2 — 2y — 3 \geq 0.$$

Разлагаем на множители:

$$(y + 1)(y — 3) \geq 0.$$

Решение неравенства

Решение этого неравенства:

$$y \leq -1 \quad \text{или} \quad y \geq 3.$$

Возвращаемся к $\operatorname{tg} x$

Теперь рассматриваем:

$$\operatorname{tg} x \leq -1 \quad \text{или} \quad \operatorname{tg} x \geq 3.$$

Решение неравенства $\operatorname{tg} x \leq -1$

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq -\frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Решение неравенства $\operatorname{tg} x \geq 3$

$$\operatorname{arctg} 3 + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Ответ

Объединяя все интервалы, получаем ответ:

$$\operatorname{arctg} 3 + \pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{4} + \pi n.$$