ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Представив 105° как сумму 60° + 45°, вычислите:

a) sin 105°;

б) cos 105°.

а) $\sin {105}^{\circ }=\sin ({60}^{\circ }+{45}^{\circ })=\sin {60}^{\circ }\cdot \cos {45}^{\circ }+\cos {60}^{\circ }\cdot \sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=$

$\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cdot \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \cdot \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{1}{4} (\sqrt{6} + \sqrt{2})$;

Ответ: $\frac{1}{4} (\sqrt{6} + \sqrt{2})$.

б) $\cos {105}^{\circ }=\cos ({60}^{\circ }+{45}^{\circ })=\cos {60}^{\circ }\cdot \cos {45}^{\circ }-\sin {60}^{\circ }\cdot \sin {45}^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=$

$\cos 105^\circ = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cdot \cos 45^\circ — \sin 60^\circ \cdot \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} — \sqrt{6}}{4} = \frac{1}{4} (\sqrt{2} — \sqrt{6})$;

Ответ: $\frac{1}{4} (\sqrt{2} — \sqrt{6})$.

а) $\sin 105^\circ$

Нам нужно вычислить $\sin 105^\circ$. Используем формулу для синуса суммы углов:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B.$$

Задача сводится к вычислению $\sin(60^\circ + 45^\circ)$, то есть $A = 60^\circ$ и $B = 45^\circ$. Подставим в формулу:

$$\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cdot \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \cdot \sin 45^\circ.$$

Теперь подставим известные значения для тригонометрических функций:

• $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,
• $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$,
• $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,
• $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Получаем:

$$\sin(105^\circ) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$

Теперь вычислим каждую часть:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}, \quad \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}.$$

Складываем:

$$\sin(105^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{4} (\sqrt{6} + \sqrt{2}).$$

Ответ:

$$\sin 105^\circ = \frac{1}{4} (\sqrt{6} + \sqrt{2}).$$

б) $\cos 105^\circ$

Теперь вычислим $\cos 105^\circ$. Используем формулу для косинуса суммы углов:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B.$$

Задача сводится к вычислению $\cos(60^\circ + 45^\circ)$, где $A = 60^\circ$ и $B = 45^\circ$. Подставим в формулу:

$$\cos(105^\circ) = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cdot \cos 45^\circ — \sin 60^\circ \cdot \sin 45^\circ.$$

Теперь подставим известные значения для тригонометрических функций:

• $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,
• $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$,
• $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,
• $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Получаем:

$$\cos(105^\circ) = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) — \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$

Теперь вычислим каждую часть:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}, \quad \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}.$$

Вычитаем:

$$\cos(105^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{4} — \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{1}{4} (\sqrt{2} — \sqrt{6}).$$

Ответ:

$$\cos 105^\circ = \frac{1}{4} (\sqrt{2} — \sqrt{6}).$$

Итоговый ответ:

а) $\sin 105^\circ = \frac{1}{4} (\sqrt{6} + \sqrt{2})$.

б) $\cos 105^\circ = \frac{1}{4} (\sqrt{2} — \sqrt{6})$.