ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\sin 5x \cdot \cos 3x + \cos 5x \cdot \sin 3x = \sin 8x$;

б) $\cos 5x \cdot \cos 3x — \sin 5x \cdot \sin 3x = \cos 8x$;

в) $\sin 7x \cdot \cos 4x — \cos 7x \cdot \sin 4x = \sin 3x$;

г) $\cos 2x \cdot \cos 12x + \sin 2x \cdot \sin 12x = \cos 10x$

Доказать тождество:

а) $\sin 5x \cdot \cos 3x + \cos 5x \cdot \sin 3x = \sin 8x$;

$$\sin(5x + 3x) = \sin 8x;$$ $$\sin 8x = \sin 8x;$$

Тождество доказано.

б) $\cos 5x \cdot \cos 3x — \sin 5x \cdot \sin 3x = \cos 8x$;

$$\cos(5x + 3x) = \cos 8x;$$ $$\cos 8x = \cos 8x;$$

Тождество доказано.

в) $\sin 7x \cdot \cos 4x — \cos 7x \cdot \sin 4x = \sin 3x$;

$$\sin(7x — 4x) = \sin 3x;$$ $$\sin 3x = \sin 3x;$$

Тождество доказано.

г) $\cos 2x \cdot \cos 12x + \sin 2x \cdot \sin 12x = \cos 10x$;

$$\cos(2x — 12x) = \cos 10x;$$ $$\cos(-10x) = \cos 10x;$$ $$\cos 10x = \cos 10x;$$

Тождество доказано.

а) $\sin 5x \cdot \cos 3x + \cos 5x \cdot \sin 3x = \sin 8x$

Для доказательства этого тождества воспользуемся формулой для синуса суммы углов:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Подставим в эту формулу $A = 5x$ и $B = 3x$:

$$\sin(5x + 3x) = \sin 5x \cdot \cos 3x + \cos 5x \cdot \sin 3x$$

Это выражение совпадает с левой частью исходного тождества, следовательно:

$$\sin(5x + 3x) = \sin 8x$$

А так как $\sin 8x = \sin 8x$, то тождество доказано.

б) $\cos 5x \cdot \cos 3x — \sin 5x \cdot \sin 3x = \cos 8x$

Для доказательства этого тождества используем формулу для косинуса суммы углов:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

Подставим в эту формулу $A = 5x$ и $B = 3x$:

$$\cos(5x + 3x) = \cos 5x \cdot \cos 3x — \sin 5x \cdot \sin 3x$$

Это выражение совпадает с левой частью исходного тождества, следовательно:

$$\cos(5x + 3x) = \cos 8x$$

А так как $\cos 8x = \cos 8x$, то тождество доказано.

в) $\sin 7x \cdot \cos 4x — \cos 7x \cdot \sin 4x = \sin 3x$

Здесь мы можем применить формулу для синуса разности углов:

$$\sin(A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B$$

Подставим в эту формулу $A = 7x$ и $B = 4x$:

$$\sin(7x — 4x) = \sin 7x \cdot \cos 4x — \cos 7x \cdot \sin 4x$$

Это выражение совпадает с левой частью исходного тождества, следовательно:

$$\sin(7x — 4x) = \sin 3x$$

А так как $\sin 3x = \sin 3x$, то тождество доказано.

г) $\cos 2x \cdot \cos 12x + \sin 2x \cdot \sin 12x = \cos 10x$

Для доказательства этого тождества используем формулу для косинуса разности углов:

$$\cos(A — B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B$$

Подставим в эту формулу $A = 2x$ и $B = 12x$:

$$\cos(2x — 12x) = \cos 2x \cdot \cos 12x + \sin 2x \cdot \sin 12x$$

Это выражение совпадает с левой частью исходного тождества, следовательно:

$$\cos(2x — 12x) = \cos 10x$$

Так как косинус четная функция ($\cos(-\theta) = \cos(\theta)$), то:

$$\cos(-10x) = \cos 10x$$

А так как $\cos 10x = \cos 10x$, то тождество доказано.