ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)$$\frac{\sqrt{2}\cos a-2\cos (\frac{\pi }{4}-a)}{2\sin (\frac{\pi }{6}+a)-\sqrt{3}\sin a}=-\sqrt{2}\mathrm{tg}a$$

б)$$\frac{\cos a-2\cos (\frac{\pi }{3}+a)}{2\sin (a-\frac{\pi }{6})-\sqrt{3}\sin a}=-\sqrt{3}\mathrm{tg}a$$

Доказать тождество:

а)

$$\frac{\sqrt{2} \cos a — 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} — a \right)}{2 \sin \left( \frac{\pi}{6} + a \right) — \sqrt{3} \sin a} = -\sqrt{2} \operatorname{tg} a$$

Преобразуем числитель:

$$\sqrt{2} \cos a — 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} — a \right)$$

Используем формулу косинуса разности:

$$\cos \left( \frac{\pi}{4} — a \right) = \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos a + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin a$$

Зная, что $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\cos \left( \frac{\pi}{4} — a \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a$$

Подставляем это в числитель:

$$\sqrt{2} \cos a — 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \right)$$

Раскрываем скобки:

$$\sqrt{2} \cos a — \sqrt{2} \cos a — \sqrt{2} \sin a = -\sqrt{2} \sin a$$

Преобразуем знаменатель:

$$2 \sin \left( \frac{\pi}{6} + a \right) — \sqrt{3} \sin a$$

Используем формулу синуса суммы:

$$\sin \left( \frac{\pi}{6} + a \right) = \sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos a + \cos \frac{\pi}{6} \cdot \sin a$$

Зная, что $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\sin \left( \frac{\pi}{6} + a \right) = \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a$$

Подставляем это в знаменатель:

$$2 \left( \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right) — \sqrt{3} \sin a$$

Раскрываем скобки:

$$\cos a + \sqrt{3} \sin a — \sqrt{3} \sin a = \cos a$$

Теперь у нас получается:

$$\frac{-\sqrt{2} \sin a}{\cos a} = -\sqrt{2} \operatorname{tg} a$$

Так как $\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a}$.

Тождество доказано.

б)

$$\frac{\cos a — 2 \cos \left( \frac{\pi}{3} + a \right)}{2 \sin \left( a — \frac{\pi}{6} \right) — \sqrt{3} \sin a} = -\sqrt{3} \operatorname{tg} a$$

Преобразуем числитель:

$$\cos a — 2 \cos \left( \frac{\pi}{3} + a \right)$$

Используем формулу косинуса суммы:

$$\cos \left( \frac{\pi}{3} + a \right) = \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos a — \sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin a$$

Зная, что $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\cos \left( \frac{\pi}{3} + a \right) = \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a$$

Подставляем это в числитель:

$$\cos a — 2 \left( \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right)$$

Раскрываем скобки:

$$\cos a — \cos a + \sqrt{3} \sin a = \sqrt{3} \sin a$$

Преобразуем знаменатель:

$$2 \sin \left( a — \frac{\pi}{6} \right) — \sqrt{3} \sin a$$

Используем формулу синуса разности:

$$\sin \left( a — \frac{\pi}{6} \right) = \sin a \cdot \cos \frac{\pi}{6} — \cos a \cdot \sin \frac{\pi}{6}$$

Зная, что $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$:

$$\sin \left( a — \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a — \frac{1}{2} \cos a$$

Подставляем это в знаменатель:

$$2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a — \frac{1}{2} \cos a \right) — \sqrt{3} \sin a$$

Раскрываем скобки:

$$\sqrt{3} \sin a — \cos a — \sqrt{3} \sin a = -\cos a$$

Теперь у нас получается:

$$\frac{\sqrt{3} \sin a}{-\cos a} = -\sqrt{3} \operatorname{tg} a$$

Так как $\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a}$.

Тождество доказано.

а)

$$\frac{\sqrt{2} \cos a — 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} — a \right)}{2 \sin \left( \frac{\pi}{6} + a \right) — \sqrt{3} \sin a} = -\sqrt{2} \operatorname{tg} a$$

1. Преобразуем числитель:

Нам нужно преобразовать выражение:

$$\sqrt{2} \cos a — 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} — a \right)$$

Для этого используем формулу косинуса разности:

$$\cos \left( \frac{\pi}{4} — a \right) = \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos a + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin a$$

Здесь $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставляем эти значения:

$$\cos \left( \frac{\pi}{4} — a \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a$$

Теперь подставим это выражение в числитель:

$$\sqrt{2} \cos a — 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \right)$$

Раскроем скобки:

$$\sqrt{2} \cos a — \sqrt{2} \cos a — \sqrt{2} \sin a$$

Теперь видим, что $\sqrt{2} \cos a — \sqrt{2} \cos a = 0$, и остается:

$$-\sqrt{2} \sin a$$

Таким образом, числитель преобразуется в:

$$-\sqrt{2} \sin a$$

2. Преобразуем знаменатель:

Нам нужно преобразовать выражение:

$$2 \sin \left( \frac{\pi}{6} + a \right) — \sqrt{3} \sin a$$

Для этого используем формулу синуса суммы:

$$\sin \left( \frac{\pi}{6} + a \right) = \sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos a + \cos \frac{\pi}{6} \cdot \sin a$$

Здесь $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем эти значения:

$$\sin \left( \frac{\pi}{6} + a \right) = \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a$$

Теперь подставим это выражение в знаменатель:

$$2 \left( \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right) — \sqrt{3} \sin a$$

Раскроем скобки:

$$\cos a + \sqrt{3} \sin a — \sqrt{3} \sin a$$

Теперь видим, что $\sqrt{3} \sin a — \sqrt{3} \sin a = 0$, и остается:

$$\cos a$$

Таким образом, знаменатель преобразуется в:

$$\cos a$$

3. Финальное выражение:

Теперь, используя полученные числитель и знаменатель, получаем:

$$\frac{-\sqrt{2} \sin a}{\cos a}$$

Это можно представить как:

$$-\sqrt{2} \frac{\sin a}{\cos a}$$

Так как $\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a}$, получаем:

$$-\sqrt{2} \operatorname{tg} a$$

Таким образом, тождество доказано:

$$\frac{\sqrt{2} \cos a — 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} — a \right)}{2 \sin \left( \frac{\pi}{6} + a \right) — \sqrt{3} \sin a} = -\sqrt{2} \operatorname{tg} a$$

б)

$$\frac{\cos a — 2 \cos \left( \frac{\pi}{3} + a \right)}{2 \sin \left( a — \frac{\pi}{6} \right) — \sqrt{3} \sin a} = -\sqrt{3} \operatorname{tg} a$$

1. Преобразуем числитель:

Нам нужно преобразовать выражение:

$$\cos a — 2 \cos \left( \frac{\pi}{3} + a \right)$$

Для этого используем формулу косинуса суммы:

$$\cos \left( \frac{\pi}{3} + a \right) = \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos a — \sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin a$$

Здесь $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем эти значения:

$$\cos \left( \frac{\pi}{3} + a \right) = \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a$$

Теперь подставим это выражение в числитель:

$$\cos a — 2 \left( \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right)$$

Раскроем скобки:

$$\cos a — \cos a + \sqrt{3} \sin a$$

Теперь видим, что $\cos a — \cos a = 0$, и остается:

$$\sqrt{3} \sin a$$

Таким образом, числитель преобразуется в:

$$\sqrt{3} \sin a$$

2. Преобразуем знаменатель:

Нам нужно преобразовать выражение:

$$2 \sin \left( a — \frac{\pi}{6} \right) — \sqrt{3} \sin a$$

Для этого используем формулу синуса разности:

$$\sin \left( a — \frac{\pi}{6} \right) = \sin a \cdot \cos \frac{\pi}{6} — \cos a \cdot \sin \frac{\pi}{6}$$

Здесь $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, подставляем эти значения:

$$\sin \left( a — \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a — \frac{1}{2} \cos a$$

Теперь подставим это выражение в знаменатель:

$$2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a — \frac{1}{2} \cos a \right) — \sqrt{3} \sin a$$

Раскроем скобки:

$$\sqrt{3} \sin a — \cos a — \sqrt{3} \sin a$$

Теперь видим, что $\sqrt{3} \sin a — \sqrt{3} \sin a = 0$, и остается:

$$-\cos a$$

Таким образом, знаменатель преобразуется в:

$$-\cos a$$

3. Финальное выражение:

Теперь, используя полученные числитель и знаменатель, получаем:

$$\frac{\sqrt{3} \sin a}{-\cos a}$$

Это можно представить как:

$$-\sqrt{3} \frac{\sin a}{\cos a}$$

Так как $\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a}$, получаем:

$$-\sqrt{3} \operatorname{tg} a$$

Таким образом, тождество доказано:

$$\frac{\cos a — 2 \cos \left( \frac{\pi}{3} + a \right)}{2 \sin \left( a — \frac{\pi}{6} \right) — \sqrt{3} \sin a} = -\sqrt{3} \operatorname{tg} a$$