ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Используя формулы сложения, выведите следующие формулы (их называют формулами приведения):

а) $\sin(\pi — x) = \sin x$;

б) $\cos(\pi + x) = -\cos x$;

в) $\operatorname{tg}(2\pi — x) = -\operatorname{tg} x$;

г) $\operatorname{ctg}(\pi — x) = -\operatorname{ctg} x$

а) $\sin(\pi — x) = \sin x$;

$$\sin(\pi — x) = \sin \pi \cdot \cos x — \cos \pi \cdot \sin x = 0 \cdot \cos x — (-1) \cdot \sin x = \sin x;$$

б) $\cos(\pi + x) = -\cos x$;

$$\cos(\pi + x) = \cos \pi \cdot \cos x — \sin \pi \cdot \sin x = -1 \cdot \cos x — 0 \cdot \sin x = -\cos x;$$

в) $\operatorname{tg}(2\pi — x) = -\operatorname{tg} x$;

$$\operatorname{tg}(2\pi — x) = \frac{\sin(2\pi — x)}{\cos(2\pi — x)} = \frac{\sin 2\pi \cdot \cos x — \cos 2\pi \cdot \sin x}{\cos 2\pi \cdot \cos x + \sin 2\pi \cdot \sin x};$$ $$\operatorname{tg}(2\pi — x) = \frac{0 \cdot \cos x — 1 \cdot \sin x}{1 \cdot \cos x + 0 \cdot \sin x} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\operatorname{tg} x;$$

г) $\operatorname{ctg}(\pi — x) = -\operatorname{ctg} x$;

$$\operatorname{ctg}(\pi — x) = \frac{\cos(\pi — x)}{\sin(\pi — x)} = \frac{\cos \pi \cdot \cos x + \sin \pi \cdot \sin x}{\sin \pi \cdot \cos x — \cos \pi \cdot \sin x};$$ $$\operatorname{ctg}(\pi — x) = \frac{-1 \cdot \cos x + 0 \cdot \sin x}{0 \cdot \cos x — (-1) \cdot \sin x} = \frac{-\cos x}{\sin x} = -\operatorname{ctg} x;$$

а) $\sin(\pi — x) = \sin x$

Мы будем использовать формулы для тригонометрических функций, чтобы подробно вычислить значение $\sin(\pi — x)$.

Используем формулу для синуса разности:

$$\sin(A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B$$

В нашем случае $A = \pi$, а $B = x$. Подставим эти значения в формулу:

$$\sin(\pi — x) = \sin \pi \cdot \cos x — \cos \pi \cdot \sin x$$

Теперь подставим значения для $\sin \pi$ и $\cos \pi$:

• $\sin \pi = 0$
• $\cos \pi = -1$

Таким образом:

$$\sin(\pi — x) = 0 \cdot \cos x — (-1) \cdot \sin x = 0 — (-\sin x) = \sin x$$

Итак, мы получаем:

$$\sin(\pi — x) = \sin x$$

б) $\cos(\pi + x) = -\cos x$

Теперь рассмотрим выражение $\cos(\pi + x)$. Используем формулу для косинуса суммы углов:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

В нашем случае $A = \pi$, а $B = x$. Подставим эти значения в формулу:

$$\cos(\pi + x) = \cos \pi \cdot \cos x — \sin \pi \cdot \sin x$$

Теперь подставим значения для $\cos \pi$ и $\sin \pi$:

• $\cos \pi = -1$
• $\sin \pi = 0$

Таким образом:

$$\cos(\pi + x) = (-1) \cdot \cos x — 0 \cdot \sin x = -\cos x$$

Итак, мы получаем:

$$\cos(\pi + x) = -\cos x$$

в) $\operatorname{tg}(2\pi — x) = -\operatorname{tg} x$

Теперь рассмотрим выражение $\operatorname{tg}(2\pi — x)$. Используем формулы для тангенса разности углов:

$$\operatorname{tg}(A — B) = \frac{\sin(A — B)}{\cos(A — B)}$$

В нашем случае $A = 2\pi$, а $B = x$. Подставим эти значения в формулу:

$$\operatorname{tg}(2\pi — x) = \frac{\sin(2\pi — x)}{\cos(2\pi — x)}$$

Теперь вычислим $\sin(2\pi — x)$ и $\cos(2\pi — x)$ с использованием известных значений для угла $2\pi$:

$\sin(2\pi — x) = \sin 2\pi \cdot \cos x — \cos 2\pi \cdot \sin x$

• $\sin 2\pi = 0$
• $\cos 2\pi = 1$

$$\sin(2\pi — x) = 0 \cdot \cos x — 1 \cdot \sin x = -\sin x$$

$\cos(2\pi — x) = \cos 2\pi \cdot \cos x + \sin 2\pi \cdot \sin x$

• $\cos 2\pi = 1$
• $\sin 2\pi = 0$

$$\cos(2\pi — x) = 1 \cdot \cos x + 0 \cdot \sin x = \cos x$$

Таким образом, получаем:

$$\operatorname{tg}(2\pi — x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\operatorname{tg} x$$

Итак, мы получаем:

$$\operatorname{tg}(2\pi — x) = -\operatorname{tg} x$$

г) $\operatorname{ctg}(\pi — x) = -\operatorname{ctg} x$

Теперь рассмотрим выражение $\operatorname{ctg}(\pi — x)$. Используем формулу для котангенса разности углов:

$$\operatorname{ctg}(A — B) = \frac{\cos(A — B)}{\sin(A — B)}$$

В нашем случае $A = \pi$, а $B = x$. Подставим эти значения в формулу:

$$\operatorname{ctg}(\pi — x) = \frac{\cos(\pi — x)}{\sin(\pi — x)}$$

Теперь вычислим $\cos(\pi — x)$ и $\sin(\pi — x)$ с использованием известных значений для угла $\pi$:

$\cos(\pi — x) = \cos \pi \cdot \cos x + \sin \pi \cdot \sin x$

• $\cos \pi = -1$
• $\sin \pi = 0$

$$\cos(\pi — x) = (-1) \cdot \cos x + 0 \cdot \sin x = -\cos x$$

$\sin(\pi — x) = \sin \pi \cdot \cos x — \cos \pi \cdot \sin x$

• $\sin \pi = 0$
• $\cos \pi = -1$

$$\sin(\pi — x) = 0 \cdot \cos x — (-1) \cdot \sin x = \sin x$$

Таким образом, получаем:

$$\operatorname{ctg}(\pi — x) = \frac{-\cos x}{\sin x} = -\operatorname{ctg} x$$

Итак, мы получаем:

$$\operatorname{ctg}(\pi — x) = -\operatorname{ctg} x$$