ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите

a) sin 74° · cos 16° + cos 74° · sin 16°;

б) cos 23° · cos 22° — sin 23° · sin 22°;

в) sin 89° · cos 1° + cos 89° · sin 1°;

г) cos 178° · cos 2° — sin 178° · sin 2°.

а) $\sin 74^\circ \cdot \cos 16^\circ + \cos 74^\circ \cdot \sin 16^\circ = \sin(74^\circ + 16^\circ) = \sin 90^\circ = 1$;
Ответ: 1.

б) $\cos 23^\circ \cdot \cos 22^\circ — \sin 23^\circ \cdot \sin 22^\circ = \cos(23^\circ + 22^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) $\sin 89^\circ \cdot \cos 1^\circ + \cos 89^\circ \cdot \sin 1^\circ = \sin(89^\circ + 1^\circ) = \sin 90^\circ = 1$;
Ответ: 1.

г) $\cos 178^\circ \cdot \cos 2^\circ — \sin 178^\circ \cdot \sin 2^\circ = \cos(178^\circ + 2^\circ) = \cos 180^\circ = -1$;
Ответ: -1.

а) $\sin 74^\circ \cdot \cos 16^\circ + \cos 74^\circ \cdot \sin 16^\circ = \sin(74^\circ + 16^\circ) = \sin 90^\circ = 1$

Используем формулу для синуса суммы углов:

Формула для синуса суммы двух углов $A$ и $B$ выглядит так:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Это стандартная формула для преобразования синуса суммы углов.

Подставляем наши значения в формулу:

В нашем случае $A = 74^\circ$ и $B = 16^\circ$. Подставим эти значения в формулу для синуса суммы:

$$\sin(74^\circ + 16^\circ) = \sin 74^\circ \cdot \cos 16^\circ + \cos 74^\circ \cdot \sin 16^\circ$$

Упрощаем:

Теперь мы видим, что выражение $\sin 74^\circ \cdot \cos 16^\circ + \cos 74^\circ \cdot \sin 16^\circ$ действительно равно $\sin(74^\circ + 16^\circ)$.

Вычисляем сумму углов:

$$74^\circ + 16^\circ = 90^\circ$$

Таким образом, мы имеем:

$$\sin 74^\circ \cdot \cos 16^\circ + \cos 74^\circ \cdot \sin 16^\circ = \sin 90^\circ$$

Используем значение $\sin 90^\circ$:

По таблице значений тригонометрических функций известно, что:

$$\sin 90^\circ = 1$$

Итог:

Таким образом, мы получаем:

$$\sin 74^\circ \cdot \cos 16^\circ + \cos 74^\circ \cdot \sin 16^\circ = 1$$

Ответ: 1.

б) $\cos 23^\circ \cdot \cos 22^\circ — \sin 23^\circ \cdot \sin 22^\circ = \cos(23^\circ + 22^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Используем формулу для косинуса суммы углов:

Формула для косинуса суммы двух углов $A$ и $B$ выглядит так:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

Это стандартная формула для преобразования косинуса суммы углов.

Подставляем наши значения в формулу:

В нашем случае $A = 23^\circ$ и $B = 22^\circ$. Подставим эти значения в формулу для косинуса суммы:

$$\cos(23^\circ + 22^\circ) = \cos 23^\circ \cdot \cos 22^\circ — \sin 23^\circ \cdot \sin 22^\circ$$

Вычисляем сумму углов:

$$23^\circ + 22^\circ = 45^\circ$$

Таким образом, мы имеем:

$$\cos 23^\circ \cdot \cos 22^\circ — \sin 23^\circ \cdot \sin 22^\circ = \cos 45^\circ$$

Используем значение $\cos 45^\circ$:

По таблице значений тригонометрических функций известно, что:

$$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Итог:

Таким образом, мы получаем:

$$\cos 23^\circ \cdot \cos 22^\circ — \sin 23^\circ \cdot \sin 22^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) $\sin 89^\circ \cdot \cos 1^\circ + \cos 89^\circ \cdot \sin 1^\circ = \sin(89^\circ + 1^\circ) = \sin 90^\circ = 1$

Используем формулу для синуса суммы углов:

Формула для синуса суммы двух углов $A$ и $B$ выглядит так:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Это стандартная формула для преобразования синуса суммы углов.

Подставляем наши значения в формулу:

В нашем случае $A = 89^\circ$ и $B = 1^\circ$. Подставим эти значения в формулу для синуса суммы:

$$\sin(89^\circ + 1^\circ) = \sin 89^\circ \cdot \cos 1^\circ + \cos 89^\circ \cdot \sin 1^\circ$$

Вычисляем сумму углов:

$$89^\circ + 1^\circ = 90^\circ$$

Таким образом, мы имеем:

$$\sin 89^\circ \cdot \cos 1^\circ + \cos 89^\circ \cdot \sin 1^\circ = \sin 90^\circ$$

Используем значение $\sin 90^\circ$:

По таблице значений тригонометрических функций известно, что:

$$\sin 90^\circ = 1$$

Итог:

Таким образом, мы получаем:

$$\sin 89^\circ \cdot \cos 1^\circ + \cos 89^\circ \cdot \sin 1^\circ = 1$$

Ответ: 1.

г) $\cos 178^\circ \cdot \cos 2^\circ — \sin 178^\circ \cdot \sin 2^\circ = \cos(178^\circ + 2^\circ) = \cos 180^\circ = -1$

Используем формулу для косинуса суммы углов:

Формула для косинуса суммы двух углов $A$ и $B$ выглядит так:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

Это стандартная формула для преобразования косинуса суммы углов.

Подставляем наши значения в формулу:

В нашем случае $A = 178^\circ$ и $B = 2^\circ$. Подставим эти значения в формулу для косинуса суммы:

$$\cos(178^\circ + 2^\circ) = \cos 178^\circ \cdot \cos 2^\circ — \sin 178^\circ \cdot \sin 2^\circ$$

Вычисляем сумму углов:

$$178^\circ + 2^\circ = 180^\circ$$

Таким образом, мы имеем:

$$\cos 178^\circ \cdot \cos 2^\circ — \sin 178^\circ \cdot \sin 2^\circ = \cos 180^\circ$$

Используем значение $\cos 180^\circ$:

По таблице значений тригонометрических функций известно, что:

$$\cos 180^\circ = -1$$

Итог:

Таким образом, мы получаем:

$$\cos 178^\circ \cdot \cos 2^\circ — \sin 178^\circ \cdot \sin 2^\circ = -1$$

Ответ: -1.