ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

a) sin15°;

б) cos15°;

в) sin15° cos15°;

г) cos²15° — sin²15°

а) $\sin 15^\circ = \sin(60^\circ — 45^\circ) = \sin 60^\circ \cdot \cos 45^\circ — \cos 60^\circ \cdot \sin 45^\circ =$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{4} = \frac{1}{4} (\sqrt{6} — \sqrt{2})$;
Ответ: $\frac{1}{4} (\sqrt{6} — \sqrt{2})$.

б) $\cos 15^\circ = \cos(60^\circ — 45^\circ) = \cos 60^\circ \cdot \cos 45^\circ + \sin 60^\circ \cdot \sin 45^\circ =$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} = \frac{1}{4} (\sqrt{2} + \sqrt{6})$;
Ответ: $\frac{1}{4} (\sqrt{2} + \sqrt{6})$.

в) $\sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = \sin(60^\circ — 45^\circ) \cdot \cos(60^\circ — 45^\circ) =$
$= (\sin 60^\circ \cdot \cos 45^\circ — \cos 60^\circ \cdot \sin 45^\circ)(\cos 60^\circ \cdot \cos 45^\circ + \sin 60^\circ \cdot \sin 45^\circ) =$
$= \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} = \frac{6 — 2}{16} = \frac{1}{4}$;
Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) $\cos^2 15^\circ — \sin^2 15^\circ = \cos^2(60^\circ — 45^\circ) — \sin^2(60^\circ — 45^\circ) =$
$= (\cos 60^\circ \cdot \cos 45^\circ + \sin 60^\circ \cdot \sin 45^\circ)^2 — (\sin 60^\circ \cdot \cos 45^\circ — \cos 60^\circ \cdot \sin 45^\circ)^2 =$
$= \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 — \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \right)^2 — \left( \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{4} \right)^2 =$
$= \frac{2 + 2\sqrt{12} + 6}{16} — \frac{6 — 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{4\sqrt{12}}{16} = \frac{\sqrt{12}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

а) $\sin 15^\circ$

Используем формулу для синуса разности углов:

$$\sin(A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B$$

Подставляем $A = 60^\circ$ и $B = 45^\circ$:

$$\sin 15^\circ = \sin(60^\circ — 45^\circ) = \sin 60^\circ \cdot \cos 45^\circ — \cos 60^\circ \cdot \sin 45^\circ$$

Теперь подставим известные значения:

• $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,
• $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$,
• $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,
• $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Получаем:

$$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Теперь выполняем умножение:

$$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{4} — \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4} — \frac{\sqrt{2}}{4}$$

Объединяем дроби:

$$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{4} (\sqrt{6} — \sqrt{2})}$$

б) $\cos 15^\circ$

Используем формулу для косинуса разности углов:

$$\cos(A — B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B$$

Подставляем $A = 60^\circ$ и $B = 45^\circ$:

$$\cos 15^\circ = \cos(60^\circ — 45^\circ) = \cos 60^\circ \cdot \cos 45^\circ + \sin 60^\circ \cdot \sin 45^\circ$$

Подставляем известные значения:

• $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,
• $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$,
• $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,
• $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Получаем:

$$\cos 15^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Выполняем умножение:

$$\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$$

Объединяем дроби:

$$\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{4} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}$$

в) $\sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ$

Используем выражения для $\sin 15^\circ$ и $\cos 15^\circ$, которые мы уже нашли. Для этого воспользуемся формулой для произведения синуса и косинуса:

$$\sin A \cdot \cos A = \frac{1}{2} \sin(2A)$$

Подставляем $A = 15^\circ$:

$$\sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin(30^\circ)$$

Зная, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$$\sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{4}}$$

г) $\cos^2 15^\circ — \sin^2 15^\circ$

Используем формулу для косинуса двойного угла:

$$\cos^2 A — \sin^2 A = \cos(2A)$$

Подставляем $A = 15^\circ$:

$$\cos^2 15^\circ — \sin^2 15^\circ = \cos(30^\circ)$$

Знаем, что $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

$$\cos^2 15^\circ — \sin^2 15^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$