ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\cos 6x \cdot \cos 5x + \sin 6x \cdot \sin 5x = -1$;

б) $\sin 3x \cdot \cos 5x — \sin 5x \cdot \cos 3x = 0,5$

а) $\cos 6x \cdot \cos 5x + \sin 6x \cdot \sin 5x = -1$;

$$\cos(6x — 5x) = -1;$$ $$\cos x = -1;$$ $$x = \pi + 2\pi n;$$

Ответ: $\pi + 2\pi n$.

б) $\sin 3x \cdot \cos 5x — \sin 5x \cdot \cos 3x = 0,5$;

$$\sin(3x — 5x) = 0,5;$$ $$\sin(-2x) = 0,5;$$ $$-\sin 2x = 0,5;$$ $$\sin 2x = -\frac{1}{2};$$ $$2x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$.

а)

Исходное уравнение:

$$\cos 6x \cdot \cos 5x + \sin 6x \cdot \sin 5x = -1$$

Шаг 1: Используем тригонометрическую формулу для косинуса суммы углов:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B$$

Применяя эту формулу для левой части уравнения, получаем:

$$\cos(6x — 5x) = -1$$

Шаг 2: Упростим выражение:

$$\cos(x) = -1$$

Шаг 3: Косинус равен $-1$ при $x = \pi + 2\pi n$, где $n$ — целое число, так как косинус имеет период $2\pi$.

$$x = \pi + 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi + 2\pi n}$$

б)

Исходное уравнение:

$$\sin 3x \cdot \cos 5x — \sin 5x \cdot \cos 3x = 0,5$$

Шаг 1: Применим тригонометрическую формулу для синуса разности углов:

$$\sin(A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B$$

Применяя эту формулу для левой части уравнения, получаем:

$$\sin(3x — 5x) = 0,5$$

Шаг 2: Упростим выражение:

$$\sin(-2x) = 0,5$$

Шаг 3: Используем свойство синуса, что $\sin(-A) = -\sin(A)$, и получаем:

$$-\sin 2x = 0,5$$

Шаг 4: Умножим обе части уравнения на $-1$:

$$\sin 2x = -\frac{1}{2}$$

Шаг 5: Теперь решаем уравнение $\sin 2x = -\frac{1}{2}$. Синус равен $-\frac{1}{2}$ при:

$$2x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$$

Так как $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, то у нас получается:

$$2x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Шаг 6: Разделим обе части уравнения на 2:

$$x = \frac{1}{2} \left( (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right)$$

Теперь у нас два возможных решения:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}}$$