ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)$$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=1;$$$$\boxed{\frac{3\pi}{4} + 2\pi n}.$$

б)$$\sin x-\cos x=1\mid \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\mid ;$$в)$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=1;$$

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = 1;$$ $$$$г)$$\sqrt{3}\cos x+\sin x=1$$

а)

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=1;$$

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1;$$ $$\cos \frac{\pi }{4}\cdot \sin x-\sin \frac{\pi }{4}\cdot \cos x=1;$$

$$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = 1;$$ $$\sin (x-\frac{\pi }{4})=1;$$

$$\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = 1;$$ $$x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2\pi n;$$

$$x — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{3\pi}{4} + 2\pi n}.$$

б)

$$\sin x-\cos x=1\mid \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\mid ;$$

$$\sin x — \cos x = 1 \quad \left| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right|;$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2};$$

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos \frac{\pi }{4}\cdot \sin x-\sin \frac{\pi }{4}\cdot \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2};$$

$$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2};$$

$$\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x-\frac{\pi }{4}=(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}+\pi n=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{4}+\pi n;$$

$$x — \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

$$x_1 = \frac{\pi}{4} + (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi (2k) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k;$$ $$x_2 = \frac{\pi}{4} + (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi (2k+1) = \pi + 2\pi k;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \, \pi + 2\pi k}.$$

в)

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=1;$$

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = 1;$$ $$\cos \frac{\pi }{6}\cdot \cos x+\sin \frac{\pi }{6}\cdot \sin x=1;$$

$$\cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos x + \sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin x = 1;$$ $$\cos (x-\frac{\pi }{6})=1;$$

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) = 1;$$ $$x-\frac{\pi }{6}=2\pi n;$$

$$x — \frac{\pi}{6} = 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{6} + 2\pi n}.$$

г)

$$\sqrt{3}\cos x+\sin x=1\mid \cdot \frac{1}{2}\mid ;$$

$$\sqrt{3} \cos x + \sin x = 1 \quad \left| \cdot \frac{1}{2} \right|;$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=\frac{1}{2};$$

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{1}{2};$$ $$\cos \frac{\pi }{6}\cdot \cos x+\sin \frac{\pi }{6}\cdot \sin x=\frac{1}{2};$$

$$\cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos x + \sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin x = \frac{1}{2};$$ $$\cos (x-\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2};$$

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2};$$ $$x-\frac{\pi }{6}=\pm \arccos \frac{1}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n;$$

$$x — \frac{\pi}{6} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

$$x_1 = \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + 2\pi k = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k;$$ $$x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k;$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \, \frac{\pi}{2} + 2\pi k}.$$

а)

Уравнение:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1$$

Шаг 1: Применим формулу для разности углов для синуса:

$$\sin(A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B$$

Подставим в уравнение:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \cos \frac{\pi}{4} \sin x — \sin \frac{\pi}{4} \cos x$$

Таким образом, левая часть уравнения становится:

$$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = 1$$

Шаг 2: Применим формулу для синуса разности углов:

$$\sin(A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B$$

Таким образом, получаем:

$$\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = 1$$

Шаг 3: Теперь решим уравнение:

$$\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = 1$$

Синус равен 1 при $x — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число (периодичность синуса).

$$x — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Шаг 4: Разрешаем относительно $x$:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{3\pi}{4} + 2\pi n}$$

б)

Уравнение:

$$\sin x — \cos x = 1 \quad \left| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right|$$

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на $\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 2: Применим те же действия, что и в предыдущем пункте (формулу для синуса разности углов):

$$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Получаем:

$$\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3: Теперь решим уравнение:

$$\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ при $x — \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

$$x — \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 4: Разрешаем относительно $x$:

Для $n = 2k$, получаем:

$$x_1 = \frac{\pi}{4} + (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi (2k) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$$

Для $n = 2k+1$, получаем:

$$x_2 = \frac{\pi}{4} + (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi (2k+1) = \pi + 2\pi k$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \, \pi + 2\pi k}$$

в)

Уравнение:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = 1$$

Шаг 1: Применим формулу для косинуса суммы углов:

$$\cos(A — B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B$$

Подставим:

$$\cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos x + \sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin x = 1$$

Шаг 2: Получаем:

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) = 1$$

Шаг 3: Теперь решим уравнение:

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) = 1$$

Косинус равен 1 при $x — \frac{\pi}{6} = 2\pi n$.

$$x — \frac{\pi}{6} = 2\pi n$$

Шаг 4: Разрешаем относительно $x$:

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{6} + 2\pi n}$$

г)

Уравнение:

$$\sqrt{3} \cos x + \sin x = 1 \quad \left| \cdot \frac{1}{2} \right|$$

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на $\frac{1}{2}$:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{1}{2}$$

Шаг 2: Применим формулу для косинуса суммы углов:

$$\cos(A — B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B$$

Подставим:

$$\cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos x + \sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin x = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Получаем:

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Решим уравнение $\cos \theta = \frac{1}{2}$. Косинус равен $\frac{1}{2}$ при $\theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

$$x — \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 5: Разрешаем относительно $x$:

Для $x_1$:

$$x_1 = \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Для $x_2$:

$$x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \, \frac{\pi}{2} + 2\pi n}$$