ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Зная что, что $\sin t = \frac{3}{5}$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$, вычислите:

а) $\sin (\frac{\pi }{3}+t)$

б) $\cos (\frac{\pi }{2}+t)$

в) $\sin (\frac{\pi }{2}+t)$

г) $\cos (\frac{\pi }{3}+t)$

Известно, что $\sin t = \frac{3}{5}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

Точка $t$ принадлежит первой четверти, значит:

$$\cos t = +\sqrt{1 — \sin^2 t} = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$

а) $\sin\left(\frac{\pi}{3} + t\right) = \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos t + \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4\sqrt{3} + 3}{10}$;

Ответ: $\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}$.

б) $\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \cos \frac{\pi}{2} \cdot \cos t — \sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin t = 0 \cdot \frac{4}{5} — 1 \cdot \frac{3}{5} = -\frac{3}{5}$;

Ответ: $-\frac{3}{5}$.

в) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \sin \frac{\pi}{2} \cdot \cos t — \cos \frac{\pi}{2} \cdot \sin t = 1 \cdot \frac{4}{5} — 0 \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{5}$;

Ответ: $\frac{4}{5}$.

г) $\cos\left(\frac{\pi}{3} + t\right) = \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos t — \sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin t = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} — \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4 — 3\sqrt{3}}{10}$;

Ответ: $\frac{4 — 3\sqrt{3}}{10}$.

Дано:

$$\sin t = \frac{3}{5}, \quad 0 < t < \frac{\pi}{2}$$

Так как угол $t$ находится в первой четверти, то $\cos t$ будет положительным.

Шаг 1: Найдем $\cos t$:

Из тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ получаем:

$$\cos^2 t = 1 — \sin^2 t$$

Подставляем значение $\sin t$:

$$\cos^2 t = 1 — \left( \frac{3}{5} \right)^2 = 1 — \frac{9}{25} = \frac{25}{25} — \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\cos t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$

Шаг 2: Теперь будем решать каждый пункт по очереди.

а)

Найдем $\sin \left( \frac{\pi}{3} + t \right)$.

Используем формулу для синуса суммы углов:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Подставляем $A = \frac{\pi}{3}$ и $B = t$:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} + t \right) = \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos t + \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin t$$

Теперь подставляем известные значения:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin t = \frac{3}{5}, \quad \cos t = \frac{4}{5}$$ $$\sin \left( \frac{\pi}{3} + t \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}$$

Умножаем:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} + t \right) = \frac{4\sqrt{3}}{10} + \frac{3}{10} = \frac{4\sqrt{3} + 3}{10}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}}$$

б)

Найдем $\cos \left( \frac{\pi}{2} + t \right)$.

Используем формулу для косинуса суммы углов:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

Подставляем $A = \frac{\pi}{2}$ и $B = t$:

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} + t \right) = \cos \frac{\pi}{2} \cdot \cos t — \sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin t$$

Теперь подставляем значения:

$$\cos \frac{\pi}{2} = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1$$ $$\cos \left( \frac{\pi}{2} + t \right) = 0 \cdot \frac{4}{5} — 1 \cdot \frac{3}{5} = -\frac{3}{5}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{3}{5}}$$

в)

Найдем $\sin \left( \frac{\pi}{2} + t \right)$.

Используем формулу для синуса суммы углов:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Подставляем $A = \frac{\pi}{2}$ и $B = t$:

$$\sin \left( \frac{\pi}{2} + t \right) = \sin \frac{\pi}{2} \cdot \cos t + \cos \frac{\pi}{2} \cdot \sin t$$

Теперь подставляем значения:

$$\sin \frac{\pi}{2} = 1, \quad \cos \frac{\pi}{2} = 0$$ $$\sin \left( \frac{\pi}{2} + t \right) = 1 \cdot \frac{4}{5} + 0 \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{5}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{4}{5}}$$

г)

Найдем $\cos \left( \frac{\pi}{3} + t \right)$.

Используем формулу для косинуса суммы углов:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

Подставляем $A = \frac{\pi}{3}$ и $B = t$:

$$\cos \left( \frac{\pi}{3} + t \right) = \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos t — \sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin t$$

Теперь подставляем известные значения:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos t = \frac{4}{5}, \quad \sin t = \frac{3}{5}$$ $$\cos \left( \frac{\pi}{3} + t \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} — \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{5}$$

Умножаем:

$$\cos \left( \frac{\pi}{3} + t \right) = \frac{4}{10} — \frac{3\sqrt{3}}{10} = \frac{4 — 3\sqrt{3}}{10}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{4 — 3\sqrt{3}}{10}}$$

Итоговые ответы:

1. $\boxed{\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}}$
2. $\boxed{-\frac{3}{5}}$
3. $\boxed{\frac{4}{5}}$
4. $\boxed{\frac{4 — 3\sqrt{3}}{10}}$