ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростим выражения, как указано:

а) $\sin (a+\beta )-\sin a\cdot \cos \beta =(\sin a\cdot \cos \beta +\cos a\cdot \sin \beta )-\sin a\cdot \cos \beta =\cos a\cdot \sin \beta$.

Ответ: $\cos a\cdot \sin \beta$.

б) $\sin (\frac{\pi }{3}+a)-\frac{1}{2}\sin a=(\sin \frac{\pi }{3}\cdot \cos a+\cos \frac{\pi }{3}\cdot \sin a)-\frac{1}{2}\sin a=$

$=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a+\frac{1}{2}\sin a-\frac{1}{2}\sin a=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a$.

в) $\sin a\cdot \sin \beta +\cos (a+\beta )=\sin a\cdot \sin \beta +(\cos a\cdot \cos \beta -\sin a\cdot \sin \beta )=\cos a\cdot \cos \beta$.

Ответ: $\cos a\cdot \cos \beta$.

г) $\cos (a+\frac{\pi }{4})+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a=(\cos a\cdot \cos \frac{\pi }{4}-\sin a\cdot \sin \frac{\pi }{4})+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a=$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a$.

а) $\sin (a+\beta )-\sin a\cdot \cos \beta$

Мы начинаем с выражения $\sin (a+\beta )-\sin a\cdot \cos \beta$. Для начала, используем формулу синуса суммы углов:

$$\sin (a+\beta )=\sin a\cdot \cos \beta +\cos a\cdot \sin \beta$$

Таким образом, подставляем это в исходное выражение:

$$\sin (a+\beta )-\sin a\cdot \cos \beta =(\sin a\cdot \cos \beta +\cos a\cdot \sin \beta )-\sin a\cdot \cos \beta$$

Теперь видим, что $\sin a\cdot \cos \beta$ и $-\sin a\cdot \cos \beta$ взаимно уничтожаются:

$$(\sin a\cdot \cos \beta -\sin a\cdot \cos \beta )+\cos a\cdot \sin \beta =0+\cos a\cdot \sin \beta$$

Окончательно получаем:

$$\cos a\cdot \sin \beta$$

Ответ: $\cos a\cdot \sin \beta$

б) $\sin (\frac{\pi }{3}+a)-\frac{1}{2}\sin a$

Используем формулу синуса суммы углов для $\sin (\frac{\pi }{3}+a)$:

$$\sin (\frac{\pi }{3}+a)=\sin \frac{\pi }{3}\cdot \cos a+\cos \frac{\pi }{3}\cdot \sin a$$

Теперь подставляем это в исходное выражение:

$$\sin (\frac{\pi }{3}+a)-\frac{1}{2}\sin a=(\sin \frac{\pi }{3}\cdot \cos a+\cos \frac{\pi }{3}\cdot \sin a)-\frac{1}{2}\sin a$$

Значения синуса и косинуса для $\frac{\pi }{3}$ известны:

$$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$$

Подставляем эти значения:

$$(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos a+\frac{1}{2}\cdot \sin a)-\frac{1}{2}\sin a$$

Теперь упрощаем:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos a+\frac{1}{2}\sin a-\frac{1}{2}\sin a=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos a$$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a$

в) $\sin a\cdot \sin \beta +\cos (a+\beta )$

Начинаем с выражения $\sin a\cdot \sin \beta +\cos (a+\beta )$. Для начала, используем формулу косинуса суммы углов:

$$\cos (a+\beta )=\cos a\cdot \cos \beta -\sin a\cdot \sin \beta$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\sin a\cdot \sin \beta +\cos (a+\beta )=\sin a\cdot \sin \beta +(\cos a\cdot \cos \beta -\sin a\cdot \sin \beta )$$

Теперь упрощаем:

$$\sin a\cdot \sin \beta -\sin a\cdot \sin \beta +\cos a\cdot \cos \beta =0+\cos a\cdot \cos \beta$$

Окончательно получаем:

$$\cos a\cdot \cos \beta$$

Ответ: $\cos a\cdot \cos \beta$

г) $\cos (a+\frac{\pi }{4})+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a$

Для начала, используем формулу косинуса суммы углов для $\cos (a+\frac{\pi }{4})$:

$$\cos (a+\frac{\pi }{4})=\cos a\cdot \cos \frac{\pi }{4}-\sin a\cdot \sin \frac{\pi }{4}$$

Значения синуса и косинуса для $\frac{\pi }{4}$ известны:

$$\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подставляем эти значения:

$$\cos (a+\frac{\pi }{4})=\cos a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\sin a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Теперь подставляем это в исходное выражение:

$$\cos (a+\frac{\pi }{4})+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a=(\cos a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\sin a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a$$

Теперь видим, что $-\sin a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a=0$. Убираем эти слагаемые:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cos a$$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cos a$