ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Зная, что $\sin a = \frac{9}{41}$, $\sin \beta = -\frac{40}{41}$, $0 < a < \frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$, найдите значение выражения:

а) $\sin (a+\beta )$

б) $\cos (a+\beta )$

Известно, что $\sin a = \frac{9}{41}$, $\sin \beta = -\frac{40}{41}$, $0 < a < \frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$;

Точка $a$ принадлежит первой четверти, а точка $\beta$ — четвертой, значит:

$$\cos a = +\sqrt{1 — \sin^2 a} = \sqrt{1 — \left(\frac{9}{41}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{81}{1681}} = \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \frac{40}{41};$$ $$\cos \beta = +\sqrt{1 — \sin^2 \beta} = \sqrt{1 — \left(\frac{40}{41}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{1600}{1681}} = \sqrt{\frac{81}{1681}} = \frac{9}{41};$$

а) $\sin(a + \beta) = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta$;

$$\sin(a + \beta) = \frac{9}{41} \cdot \frac{9}{41} + \frac{40}{41} \cdot \left(-\frac{40}{41}\right) = \frac{81 — 1600}{1681} = -\frac{1519}{1681};$$

Ответ: $-\frac{1519}{1681}$.

б) $\cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta$;

$$\cos(a + \beta) = \frac{40}{41} \cdot \frac{9}{41} — \frac{9}{41} \cdot \left(-\frac{40}{41}\right) = \frac{360 + 360}{1681} = \frac{720}{1681};$$

Ответ: $\frac{720}{1681}$.

Дано:

• $\sin a = \frac{9}{41}$
• $\sin \beta = -\frac{40}{41}$
• $0 < a < \frac{\pi}{2}$ (угол $a$ находится в первой четверти)
• $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$ (угол $\beta$ находится в четвертой четверти)

Нам нужно вычислить $\sin(a + \beta)$ и $\cos(a + \beta)$, используя известные тригонометрические формулы.

1. Определение $\cos a$ и $\cos \beta$

Для угла $a$:

Мы знаем, что $\sin a = \frac{9}{41}$ и угол $a$ находится в первой четверти, где косинус положителен. Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Подставим $\sin a = \frac{9}{41}$:

$$\left(\frac{9}{41}\right)^2 + \cos^2 a = 1$$ $$\frac{81}{1681} + \cos^2 a = 1$$

Вычитаем $\frac{81}{1681}$ из обеих частей:

$$\cos^2 a = 1 — \frac{81}{1681} = \frac{1681}{1681} — \frac{81}{1681} = \frac{1600}{1681}$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\cos a = \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \frac{40}{41}$$

Так как угол $a$ находится в первой четверти, $\cos a$ положительный.

Для угла $\beta$:

Мы знаем, что $\sin \beta = -\frac{40}{41}$ и угол $\beta$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Аналогично, используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$$

Подставим $\sin \beta = -\frac{40}{41}$:

$$\left(-\frac{40}{41}\right)^2 + \cos^2 \beta = 1$$ $$\frac{1600}{1681} + \cos^2 \beta = 1$$

Вычитаем $\frac{1600}{1681}$ из обеих частей:

$$\cos^2 \beta = 1 — \frac{1600}{1681} = \frac{1681}{1681} — \frac{1600}{1681} = \frac{81}{1681}$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\cos \beta = \sqrt{\frac{81}{1681}} = \frac{9}{41}$$

Так как угол $\beta$ находится в четвертой четверти, $\cos \beta$ положительный.

2. Вычисление $\sin(a + \beta)$

Используем формулу суммы синусов:

$$\sin(a + \beta) = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta$$

Подставляем известные значения:

$$\sin(a + \beta) = \frac{9}{41} \cdot \frac{9}{41} + \frac{40}{41} \cdot \left(-\frac{40}{41}\right)$$

Выполняем умножение:

$$\sin(a + \beta) = \frac{81}{1681} + \left(-\frac{1600}{1681}\right) = \frac{81 — 1600}{1681} = \frac{-1519}{1681}$$

Ответ:

$$\sin(a + \beta) = -\frac{1519}{1681}$$

3. Вычисление $\cos(a + \beta)$

Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta$$

Подставляем известные значения:

$$\cos(a + \beta) = \frac{40}{41} \cdot \frac{9}{41} — \frac{9}{41} \cdot \left(-\frac{40}{41}\right)$$

Выполняем умножение:

$$\cos(a + \beta) = \frac{360}{1681} + \frac{360}{1681} = \frac{360 + 360}{1681} = \frac{720}{1681}$$

Ответ:

$$\cos(a + \beta) = \frac{720}{1681}$$

Итоговый результат

1. $\sin(a + \beta) = -\frac{1519}{1681}$
2. $\cos(a + \beta) = \frac{720}{1681}$