ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.41 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определить знак числа $a$:

а)

$$a = (\cos 1 + \cos 2)^2 + (\sin 1 — \sin 2)^2 — 2$$ $$a = (\cos^2 1 + 2 \cos 1 \cdot \cos 2 + \cos^2 2) + (\sin^2 1 — 2 \sin 1 \cdot \sin 2 + \sin^2 2) — 2$$ $$a = (\cos^2 1 + \sin^2 1) + (\cos^2 2 + \sin^2 2) + 2(\cos 1 \cdot \cos 2 — \sin 1 \cdot \sin 2) — 2$$ $$a = 1 + 1 + 2 \cos(1 + 2) — 2$$ $$a = 2 \cos 3$$

Число 3 принадлежит второй четверти:

$$\frac{\pi}{3} < 3 < \pi$$ $$\cos 3 < 0$$

Ответ: $a < 0$.

б)

$$a = (\sin 3 + \cos 4)^2 + (\cos 3 + \sin 4)^2 — 1$$ $$a = (\sin^2 3 + 2 \sin 3 \cdot \cos 4 + \cos^2 4) + (\cos^2 3 + 2 \cos 3 \cdot \sin 4 + \sin^2 4) — 1$$ $$a = (\sin^2 3 + \cos^2 3) + (\sin^2 4 + \cos^2 4) + 2(\sin 3 \cdot \cos 4 + \cos 3 \cdot \sin 4) — 1$$ $$a = 1 + 1 + 2 \sin(3 + 4) — 1$$ $$a = 1 + 2 \sin 7$$

Число 7 принадлежит первой четверти:

$$2\pi < 7 < \frac{5\pi}{2}$$ $$\sin 7 > 0$$

Ответ: $a > 0$.

а)

Дано:

$$a = (\cos 1 + \cos 2)^2 + (\sin 1 — \sin 2)^2 — 2$$

Нужно найти знак числа $a$.

1) Раскроем скобки и упростим выражение:

Начнем с раскрытия скобок в выражении:

$$(\cos 1 + \cos 2)^2 = \cos^2 1 + 2 \cos 1 \cdot \cos 2 + \cos^2 2$$ $$(\sin 1 — \sin 2)^2 = \sin^2 1 — 2 \sin 1 \cdot \sin 2 + \sin^2 2$$

Теперь подставим эти выражения в исходное:

$$a = \left(\cos^2 1 + 2 \cos 1 \cdot \cos 2 + \cos^2 2\right) + \left(\sin^2 1 — 2 \sin 1 \cdot \sin 2 + \sin^2 2\right) — 2$$

2) Используем идентичности для синуса и косинуса:

Теперь упростим выражение, используя известные тригонометрические тождества.

Из формулы Пифагора $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$, получаем:

$$\cos^2 1 + \sin^2 1 = 1 \quad \text{и} \quad \cos^2 2 + \sin^2 2 = 1$$

Тогда выражение для $a$ примет вид:

$$a = 1 + 1 + 2 (\cos 1 \cdot \cos 2 — \sin 1 \cdot \sin 2) — 2$$

3) Упростим с использованием формулы косинуса суммы:

Мы видим, что выражение $\cos 1 \cdot \cos 2 — \sin 1 \cdot \sin 2$ можно заменить с помощью формулы для косинуса суммы:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

Таким образом:

$$\cos 1 \cdot \cos 2 — \sin 1 \cdot \sin 2 = \cos(1 + 2) = \cos 3$$

Теперь получаем:

$$a = 2 + 2 \cos 3 — 2$$ $$a = 2 \cos 3$$

4) Анализируем знак $\cos 3$:

Теперь нужно определить знак $\cos 3$. Для этого посмотрим, где лежит число 3 (в радианах):

• $\pi \approx 3,1416$, и $3$ меньше $\pi$, значит, $3$ лежит в второй четверти.

В этой четверти $\cos \theta$ всегда отрицателен. Следовательно:

$$\cos 3 < 0$$

Таким образом, $a = 2 \cos 3$ будет отрицательным.

Ответ для $а$:

$$a < 0$$

б)

Дано:

$$a = (\sin 3 + \cos 4)^2 + (\cos 3 + \sin 4)^2 — 1$$

Нужно найти знак числа $a$.

1) Раскроем скобки и упростим выражение:

Начнем с раскрытия скобок:

$$(\sin 3 + \cos 4)^2 = \sin^2 3 + 2 \sin 3 \cdot \cos 4 + \cos^2 4$$ $$(\cos 3 + \sin 4)^2 = \cos^2 3 + 2 \cos 3 \cdot \sin 4 + \sin^2 4$$

Теперь подставим эти выражения в исходное:

$$a = \left(\sin^2 3 + 2 \sin 3 \cdot \cos 4 + \cos^2 4\right) + \left(\cos^2 3 + 2 \cos 3 \cdot \sin 4 + \sin^2 4\right) — 1$$

2) Используем тождества для синуса и косинуса:

Из формулы Пифагора $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, получаем:

$$\sin^2 3 + \cos^2 3 = 1 \quad \text{и} \quad \sin^2 4 + \cos^2 4 = 1$$

Теперь упростим выражение для $a$:

$$a = 1 + 1 + 2 (\sin 3 \cdot \cos 4 + \cos 3 \cdot \sin 4) — 1$$ $$a = 2 + 2 (\sin 3 \cdot \cos 4 + \cos 3 \cdot \sin 4) — 1$$ $$a = 1 + 2 \sin(3 + 4)$$

3) Упростим с использованием формулы синуса суммы:

Используем формулу для синуса суммы:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Таким образом:

$$\sin(3 + 4) = \sin 7$$

Теперь получаем:

$$a = 1 + 2 \sin 7$$

4) Анализируем знак $\sin 7$:

Число $7$ лежит в интервале от $2\pi$ до $\frac{5\pi}{2}$, то есть в первой четверти, где синус положителен. Следовательно:

$$\sin 7 > 0$$

Таким образом, $a = 1 + 2 \sin 7$ будет положительным.

Ответ для $б$:

$$a > 0$$

Итог:

а) ответ: $a < 0$.

б) ответ: $a > 0$.