ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.48 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$y=\sin \frac{11x}{5}\cdot \cos \frac{x+10\pi }{5}-\cos \frac{11x}{5}\cdot \sin \frac{x}{5};$$$$y=\sin \frac{11x}{5}\cdot \cos \frac{x}{5}-\cos \frac{11x}{5}\cdot \sin \frac{x}{5}=\sin (\frac{11x}{5}-\frac{x}{5})=\sin \frac{10x}{5}=\sin 2x;$$

Построим график функции $y=\sin x$;

Совершим его сжатие к оси ординат с коэффициентом $k=2$:

б)

$$y=\cos (2x+\frac{7\pi }{12})\cdot \cos (x+\frac{\pi }{4})+\sin (2x+\frac{7\pi }{12})\cdot \sin (x+\frac{9\pi }{4});$$$$y=\cos (2x+\frac{7\pi }{12})\cdot \cos (x+\frac{\pi }{4})+\sin (2x+\frac{7\pi }{12})\cdot \sin (x+\frac{\pi }{4});$$$$y=\cos ((2x+\frac{7\pi }{12})-(x+\frac{\pi }{4}))=\cos (x+\frac{4\pi }{12})=\cos (x+\frac{\pi }{3});$$

Построим график функции $y=\cos x$;

Переместим его на $\frac{\pi }{3}$ единиц влево вдоль оси абсцисс:

а)

Исходное выражение:

$$y=\sin \frac{11x}{5}\cdot \cos \frac{x+10\pi }{5}-\cos \frac{11x}{5}\cdot \sin \frac{x}{5}\mathrm{.}$$

Использование формулы приведения для синуса:

В данном выражении мы видим сумму произведений синуса и косинуса. Мы можем применить известную формулу приведения для синуса:

$$\sin (A)\cdot \cos (B)-\cos (A)\cdot \sin (B)=\sin (A-B)\mathrm{.}$$

Теперь, применяя эту формулу к нашему выражению:

$$y=\sin \frac{11x}{5}\cdot \cos \frac{x+10\pi }{5}-\cos \frac{11x}{5}\cdot \sin \frac{x}{5}$$

мы получаем:

$$y=\sin (\frac{11x}{5}-\frac{x+10\pi }{5})\mathrm{.}$$

Упрощаем выражение внутри синуса:

Теперь упростим выражение в скобках:

$$\frac{11x}{5}-\frac{x+10\pi }{5}=\frac{11x-(x+10\pi )}{5}=\frac{11x-x-10\pi }{5}=$$

$$=\frac{10x-10\pi }{5}=\frac{10(x-\pi )}{5}=2(x-\pi )\mathrm{.}$$

Таким образом, мы получаем:

$$y=\sin (2(x-\pi ))\mathrm{.}$$

Финальное преобразование:

Мы можем записать:

$$y=\sin (2x-2\pi )\mathrm{.}$$

Так как $\sin (2x-2\pi )=\sin (2x)$ (по свойствам синуса, так как синус имеет период $2\pi$), получаем:

$$y=\sin (2x)\mathrm{.}$$

1) Построим график функции $y=\sin x$:

График функции $y=\sin x$ — это периодическая волна с периодом $2\pi$ и амплитудой 1. Начнем от $(0,0)$, потом график поднимется до 1 при $x=\frac{\pi }{2}$, вернется в 0 при $x=\pi$, опустится до -1 при $x=\frac{3\pi }{2}$ и снова вернется в 0 при $x=2\pi$.

2) Совершим сжатие функции к оси ординат с коэффициентом $k=2$:

Функция $y=\sin (2x)$ — это результат сжатия графика функции $y=\sin x$ к оси ординат на коэффициент 2, то есть теперь период функции будет равен $\frac{2\pi }{2}=\pi$. Таким образом, график функции $y=\sin (2x)$ будет повторяться дважды за один период графика функции $y=\sin x$.

б)

Исходное выражение:

$$y=\cos (2x+\frac{7\pi }{12})\cdot \cos (x+\frac{\pi }{4})+\sin (2x+\frac{7\pi }{12})\cdot \sin (x+\frac{9\pi }{4})\mathrm{.}$$

Использование формулы приведения для косинуса:

Снова применим формулу для косинуса:

$$\cos A\cdot \cos B+\sin A\cdot \sin B=\cos (A-B)\mathrm{.}$$

Применяем эту формулу к нашему выражению:

$$y=\cos (2x+\frac{7\pi }{12})\cdot \cos (x+\frac{\pi }{4})+\sin (2x+\frac{7\pi }{12})\cdot \sin (x+\frac{9\pi }{4})$$

и получаем:

$$y=\cos ((2x+\frac{7\pi }{12})-(x+\frac{\pi }{4}))\mathrm{.}$$

Упрощаем выражение внутри косинуса:

Теперь упростим выражение в скобках:

$$(2x+\frac{7\pi }{12})-(x+\frac{\pi }{4})=2x+\frac{7\pi }{12}-x-\frac{\pi }{4}\mathrm{.}$$

Приводим подобные слагаемые:

$$2x-x=x,\frac{7\pi }{12}-\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{12}-\frac{3\pi }{12}=\frac{4\pi }{12}=\frac{\pi }{3}\mathrm{.}$$

Таким образом, выражение внутри косинуса упрощается до:

$$y=\cos (x+\frac{\pi }{3})\mathrm{.}$$

1) Построим график функции $y=\cos x$:

График функции $y=\cos x$ также периодичен, с периодом $2\pi$ и амплитудой 1. Начнем от $(0,1)$, график затем спустится до -1 при $x=\pi$, вернется в 1 при $x=2\pi$ и т. д.

2) Переместим его на $\frac{\pi }{3}$ единиц влево вдоль оси абсцисс:

Если мы перемещаем график функции $y=\cos x$ на $\frac{\pi }{3}$ единиц влево, то график функции $y=\cos (x+\frac{\pi }{3})$ будет сдвинут влево на $\frac{\pi }{3}$ единиц относительно исходного графика функции $y=\cos x$. Это означает, что точка максимума, которая раньше была в $(0,1)$, теперь будет в $(-\frac{\pi }{3},1)$, точка минимума будет в $(\frac{2\pi }{3},-1)$, и так далее.