ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.51 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите равенство:

$$\arcsin \frac{4}{5}-\arccos \frac{2}{\sqrt{5}}=\mathrm{arctg}\frac{1}{2}$$

Доказать равенство:

$$\arcsin \frac{4}{5} — \arccos \frac{2}{\sqrt{5}} = \arctg \frac{1}{2};$$

$a — b = c;$

1) Точка $a$ принадлежит первой или четвертой четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin \frac{4}{5} \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\sin a = \sin \left( \arcsin \frac{4}{5} \right) = \frac{4}{5};$$ $$\cos a = +\sqrt{1 — \sin^2 a} = \sqrt{1 — \left( \frac{4}{5} \right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5};$$

2) Точка $b$ принадлежит первой или второй четверти:

$$0 \leq \arccos \frac{2}{\sqrt{5}} \leq \pi;$$ $$\cos b = \cos \left( \arccos \frac{2}{\sqrt{5}} \right) = \frac{2}{\sqrt{5}};$$ $$\sin b = +\sqrt{1 — \cos^2 b} = \sqrt{1 — \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)^2} = \sqrt{\frac{5}{5} — \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}};$$

3) Значения функций:

$$\cos(a — b) = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}};$$ $$\sin(a — b) = \sin a \cdot \cos b — \cos a \cdot \sin b = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} — \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}};$$

4) Точка $a — b$ принадлежит первой четверти:

$$\cos(a — b) > 0, \quad \sin(a — b) > 0;$$ $$0 \leq a — b \leq \frac{\pi}{2};$$

5) Точка $c$ принадлежит первой четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arctg \frac{1}{2} \leq \frac{\pi}{2};$$ $$-\frac{\pi}{2} \leq c \leq \frac{\pi}{2}, \quad \tg c > 0;$$ $$0 \leq c \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\tg c = \tg \left( \arctg \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2};$$ $$\cos c = +\sqrt{\frac{1}{1 + \tg^2 c}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \left( \frac{1}{2} \right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}};$$

6) Таким образом, достаточно доказать следующее равенство:

$$\cos(a — b) = \cos c;$$ $$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}};$$

Что и требовалось доказать.

Доказательство равенства:

$$\arcsin \frac{4}{5} — \arccos \frac{2}{\sqrt{5}} = \arctg \frac{1}{2}.$$

Рассмотрим выражение $a — b = c$, где:

• $a = \arcsin \frac{4}{5}$
• $b = \arccos \frac{2}{\sqrt{5}}$
• $c = \arctg \frac{1}{2}$

Нам нужно доказать, что $\cos(a — b) = \cos c$ и $\sin(a — b) = \sin c$, что будет свидетельствовать о равенстве углов $a — b$ и $c$.

Шаг 1: Найдем значения для точки $a = \arcsin \frac{4}{5}$

Точка $a = \arcsin \frac{4}{5}$ принадлежит первой или четвертой четверти, так как арксинус находится на интервале $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.

1.1) Из определения арксинуса:

$$\sin a = \frac{4}{5}.$$

Для нахождения $\cos a$ используем тригонометрическую идентичность:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1.$$

Подставляем значение $\sin a = \frac{4}{5}$:

$$\cos^2 a = 1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}.$$

Отсюда:

$$\cos a = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}.$$

Шаг 2: Найдем значения для точки $b = \arccos \frac{2}{\sqrt{5}}$

Точка $b = \arccos \frac{2}{\sqrt{5}}$ принадлежит первой или второй четверти, так как арккосинус находится на интервале $[0, \pi]$.

2.1) Из определения арккосинуса:

$$\cos b = \frac{2}{\sqrt{5}}.$$

Для нахождения $\sin b$ используем тригонометрическую идентичность:

$$\sin^2 b + \cos^2 b = 1.$$

Подставляем значение $\cos b = \frac{2}{\sqrt{5}}$:

$$\sin^2 b = 1 — \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 — \frac{4}{5} = \frac{1}{5}.$$

Отсюда:

$$\sin b = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Шаг 3: Вычислим $\cos(a — b)$ и $\sin(a — b)$

Используем формулы для косинуса и синуса разности углов:

$$\cos(a — b) = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b,$$ $$\sin(a — b) = \sin a \cdot \cos b — \cos a \cdot \sin b.$$

Подставляем найденные значения для $\sin a, \cos a, \sin b, \cos b$:

$$\cos(a — b) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{6}{5\sqrt{5}} + \frac{4}{5\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}},$$ $$\sin(a — b) = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} — \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{8}{5\sqrt{5}} — \frac{3}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Шаг 4: Найдем значения для точки $c = \arctg \frac{1}{2}$

Точка $c = \arctg \frac{1}{2}$ принадлежит первой четверти, так как арктангенс находится на интервале $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.

4.1) Из определения арктангенса:

$$\tg c = \frac{1}{2}.$$

Для нахождения $\cos c$ и $\sin c$ используем тригонометрическую идентичность:

$$\sin^2 c + \cos^2 c = 1,$$

и формулу для $\cos c$ через $\tg c$:

$$\cos^2 c = \frac{1}{1 + \tg^2 c}.$$

Подставляем $\tg c = \frac{1}{2}$:

$$\cos^2 c = \frac{1}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}.$$

Отсюда:

$$\cos c = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}.$$

Теперь находим $\sin c$ через $\sin^2 c = 1 — \cos^2 c$:

$$\sin^2 c = 1 — \frac{4}{5} = \frac{1}{5},$$ $$\sin c = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Шаг 5: Доказательство равенства

Теперь, когда мы нашли все значения, нам нужно доказать, что:

$$\cos(a — b) = \cos c \quad \text{и} \quad \sin(a — b) = \sin c.$$

Из вычислений мы видим, что:

$$\cos(a — b) = \frac{2}{\sqrt{5}} \quad \text{и} \quad \cos c = \frac{2}{\sqrt{5}},$$ $$\sin(a — b) = \frac{1}{\sqrt{5}} \quad \text{и} \quad \sin c = \frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Таким образом, $\cos(a — b) = \cos c$ и $\sin(a — b) = \sin c$, что означает, что $a — b = c$.

Заключение

Равенство $\arcsin \frac{4}{5} — \arccos \frac{2}{\sqrt{5}} = \arctg \frac{1}{2}$  доказано.