ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.53 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите равенство:

$$\arcsin \frac{4}{5}+\arcsin \frac{5}{13}+\arcsin \frac{16}{65}=\frac{\pi }{2}$$

Доказать равенство:

$$\arcsin \frac{4}{5} + \arcsin \frac{5}{13} + \arcsin \frac{16}{65} = \frac{\pi}{2};$$ $$a + b + c = \frac{\pi}{2};$$ $$a + b = \frac{\pi}{2} — c;$$

Точка $a$ принадлежит первой или четвертой четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin \frac{4}{5} \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\sin a = \sin \left( \arcsin \frac{4}{5} \right) = \frac{4}{5};$$ $$\cos a = +\sqrt{1 — \sin^2 a} = \sqrt{1 — \left( \frac{4}{5} \right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}.$$

Точка $b$ принадлежит первой или четвертой четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin \frac{5}{13} \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\sin b = \sin \left( \arcsin \frac{5}{13} \right) = \frac{5}{13};$$ $$\cos b = +\sqrt{1 — \sin^2 b} = \sqrt{1 — \left( \frac{5}{13} \right)^2} = \sqrt{\frac{169}{169} — \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}.$$

Значения функций:

$$\cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b — \sin a \cdot \sin b = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} — \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{16}{65};$$ $$\sin(a + b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b = \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{63}{65}.$$

Точка $a + b$ принадлежит первой четверти:

$$\cos(a + b) > 0, \quad \sin(a + b) > 0;$$ $$0 \leq a + b \leq \frac{\pi}{2};$$

Точка $\frac{\pi}{2} — c$ принадлежит первой четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin \frac{16}{65} \leq \frac{\pi}{2};$$ $$-\frac{\pi}{2} \leq c \leq \frac{\pi}{2}, \quad \sin c > 0;$$ $$0 \leq c \leq \frac{\pi}{2};$$ $$0 \leq \frac{\pi}{2} — c \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\sin c = \sin \left( \arcsin \frac{16}{65} \right) = \frac{16}{65};$$ $$\cos \left( \frac{\pi}{2} — c \right) = \cos \frac{\pi}{2} \cdot \cos c + \sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin c = 0 \cdot \cos c + 1 \cdot \sin c = \frac{16}{65}.$$

Таким образом, достаточно доказать следующее равенство:

$$\cos(a + b) = \cos \left( \frac{\pi}{2} — c \right);$$ $$\frac{16}{65} = \frac{16}{65};$$

Что и требовалось доказать.

Необходимо доказать следующее равенство:

$$\arcsin \frac{4}{5} + \arcsin \frac{5}{13} + \arcsin \frac{16}{65} = \frac{\pi}{2}.$$

Для этого разобьем задачу на несколько шагов и докажем равенства поэтапно.

Обозначения:

Пусть:

• $a = \arcsin \frac{4}{5}$
• $b = \arcsin \frac{5}{13}$
• $c = \arcsin \frac{16}{65}$

Тогда, по условиям задачи, нам нужно доказать следующее:

$$a + b + c = \frac{\pi}{2}.$$

Шаг 1. Основные тригонометрические функции для углов $a$, $b$ и $c$

Для каждого из углов $a$, $b$, $c$ нужно вычислить значения синусов и косинусов. Это делается по определению функции арксинуса.

Угол $a = \arcsin \frac{4}{5}$:

Из определения арксинуса:

$$\sin a = \frac{4}{5}.$$

Для нахождения $\cos a$ используем основное тригонометрическое тождество:

$$\cos^2 a = 1 — \sin^2 a.$$

Подставляем значение $\sin a = \frac{4}{5}$:

$$\cos^2 a = 1 — \left( \frac{4}{5} \right)^2 = 1 — \frac{16}{25} = \frac{9}{25},$$ $$\cos a = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}.$$

Так как угол $a$ находится в первой четверти, то $\cos a > 0$.

Угол $b = \arcsin \frac{5}{13}$:

Из определения арксинуса:

$$\sin b = \frac{5}{13}.$$

Найдем $\cos b$ также по основному тождеству:

$$\cos^2 b = 1 — \sin^2 b = 1 — \left( \frac{5}{13} \right)^2 = 1 — \frac{25}{169} = \frac{144}{169},$$ $$\cos b = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}.$$

Так как угол $b$ находится в первой четверти, то $\cos b > 0$.

Угол $c = \arcsin \frac{16}{65}$:

Из определения арксинуса:

$$\sin c = \frac{16}{65}.$$

Найдем $\cos c$ по основному тождеству:

$$\cos^2 c = 1 — \sin^2 c = 1 — \left( \frac{16}{65} \right)^2 = 1 — \frac{256}{4225} = \frac{3969}{4225},$$ $$\cos c = \sqrt{\frac{3969}{4225}} = \frac{63}{65}.$$

Так как угол $c$ также находится в первой четверти, то $\cos c > 0$.

Шаг 2. Сложение углов

Используем формулы для синуса и косинуса суммы углов, чтобы вычислить $\cos(a + b)$ и $\sin(a + b)$.

Косинус и синус суммы углов $a + b$:

Для косинуса:

$$\cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b — \sin a \cdot \sin b.$$

Подставляем значения:

$$\cos(a + b) = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} — \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{36}{65} — \frac{20}{65} = \frac{16}{65}.$$

Для синуса:

$$\sin(a + b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b.$$

Подставляем значения:

$$\sin(a + b) = \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{48}{65} + \frac{15}{65} = \frac{63}{65}.$$

Шаг 3. Косинус и синус угла $a + b + c$

Теперь используем аналогичные формулы для вычисления $\cos(a + b + c)$ и $\sin(a + b + c)$.

Для косинуса:

$$\cos(a + b + c) = \cos(a + b) \cdot \cos c — \sin(a + b) \cdot \sin c.$$

Подставляем значения:

$$\cos(a + b + c) = \frac{16}{65} \cdot \frac{63}{65} — \frac{63}{65} \cdot \frac{16}{65} = 0.$$

Для синуса:

$$\sin(a + b + c) = \sin(a + b) \cdot \cos c + \cos(a + b) \cdot \sin c.$$

Подставляем значения:

$$\sin(a + b + c) = \frac{63}{65} \cdot \frac{63}{65} + \frac{16}{65} \cdot \frac{16}{65} = \frac{3969}{4225} + \frac{256}{4225} = \frac{4225}{4225} = 1.$$

Итак, мы получаем:

$$\cos(a + b + c) = 0, \quad \sin(a + b + c) = 1.$$

Из этого следует, что:

$$a + b + c = \frac{\pi}{2}.$$

Шаг 4. Заключение

Таким образом, мы доказали, что:

$$\arcsin \frac{4}{5} + \arcsin \frac{5}{13} + \arcsin \frac{16}{65} = \frac{\pi}{2}.$$

Что и требовалось доказать.