ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а)$$\frac{\sin (a+\beta )-\cos a\cdot \sin \beta }{\sin (a-\beta )+\cos a\cdot \sin \beta }$$

б)$$\frac{\sin (a-\beta )+2\cos a\cdot \sin \beta }{2\cos a\cdot \cos \beta -\cos (a-\beta )}$$

в)$$\frac{\cos (a+\beta )+\sin a\cdot \sin \beta }{\cos (a-\beta )-\sin a\cdot \sin \beta }$$

г)$$\frac{\cos (a+\beta )-2\sin a\cdot \sin \beta }{2\sin a\cdot \cos \beta -\sin (a-\beta )}$$

а)

$$\frac{\sin(a + \beta) — \cos a \cdot \sin \beta}{\sin(a — \beta) + \cos a \cdot \sin \beta} = \frac{(\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) — \cos a \cdot \sin \beta}{(\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) + \cos a \cdot \sin \beta} =$$ $$= \frac{\sin a \cdot \cos \beta}{\sin a \cdot \cos \beta} = 1;$$

Ответ: 1.

б)

$$\frac{\sin(a — \beta) + 2 \cos a \cdot \sin \beta}{2 \cos a \cdot \cos \beta — \cos(a — \beta)} = \frac{(\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) + 2 \cos a \cdot \sin \beta}{2 \cos a \cdot \cos \beta — (\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta)} =$$ $$= \frac{\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta}{\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta} = \frac{\sin(a + \beta)}{\cos(a + \beta)} = \operatorname{tg}(a + \beta);$$

Ответ: $\operatorname{tg}(a + \beta)$.

в)

$$\frac{\cos(a + \beta) + \sin a \cdot \sin \beta}{\cos(a — \beta) — \sin a \cdot \sin \beta} = \frac{(\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) + \sin a \cdot \sin \beta}{(\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) — \sin a \cdot \sin \beta} =$$ $$= \frac{\cos a \cdot \cos \beta}{\cos a \cdot \cos \beta} = 1;$$

Ответ: 1.

г)

$$\frac{\cos(a + \beta) — 2 \sin a \cdot \sin \beta}{2 \sin a \cdot \cos \beta — \sin(a — \beta)} = \frac{(\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) — 2 \sin a \cdot \sin \beta}{2 \sin a \cdot \cos \beta — (\sin a \cdot \cos \beta — \cos \beta \cdot \sin a)} =$$ $$= \frac{\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta}{\sin a \cdot \cos \beta + \cos \beta \cdot \sin a} = \frac{\cos(a + \beta)}{\sin(a + \beta)} = \operatorname{ctg}(a + \beta);$$

Ответ: $\operatorname{ctg}(a + \beta)$.

а)

$$\frac{\sin(a + \beta) — \cos a \cdot \sin \beta}{\sin(a — \beta) + \cos a \cdot \sin \beta}$$

Шаг 1. Раскрытие тригонометрических функций для $\sin(a + \beta)$ и $\sin(a — \beta)$.

Используем формулы для синуса суммы и разности углов:

• Для $\sin(a + \beta)$ используем формулу:

  $$\sin(a + \beta) = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta$$

• Для $\sin(a — \beta)$ используем формулу:

  $$\sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta$$

Теперь подставляем эти выражения в исходное выражение:

$$\frac{(\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) — \cos a \cdot \sin \beta}{(\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) + \cos a \cdot \sin \beta}$$

Шаг 2. Упрощение числителя и знаменателя.

В числителе:

$$(\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) — \cos a \cdot \sin \beta = \sin a \cdot \cos \beta$$

В знаменателе:

$$(\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) + \cos a \cdot \sin \beta = \sin a \cdot \cos \beta$$

Теперь выражение упрощается до:

$$\frac{\sin a \cdot \cos \beta}{\sin a \cdot \cos \beta} = 1$$

Ответ: $1$.

б)

$$\frac{\sin(a — \beta) + 2 \cos a \cdot \sin \beta}{2 \cos a \cdot \cos \beta — \cos(a — \beta)}$$

Шаг 1. Раскрытие тригонометрических функций для $\sin(a — \beta)$ и $\cos(a — \beta)$.

Используем те же формулы для $\sin(a — \beta)$, что и в предыдущем примере, а также формулу для $\cos(a — \beta)$:

• $\sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta$
• $\cos(a — \beta) = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta$

Теперь подставим эти выражения в исходное:

$$\frac{(\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) + 2 \cos a \cdot \sin \beta}{2 \cos a \cdot \cos \beta — (\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta)}$$

Шаг 2. Упрощение числителя и знаменателя.

В числителе:

$$(\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) + 2 \cos a \cdot \sin \beta = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta$$

В знаменателе:

$$2 \cos a \cdot \cos \beta — (\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta$$

Теперь выражение упрощается до:

$$\frac{\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta}{\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta}$$

Шаг 3. Применение формул для синуса и косинуса суммы.

Заметив, что числитель — это $\sin(a + \beta)$, а знаменатель — это $\cos(a + \beta)$, получаем:

$$\frac{\sin(a + \beta)}{\cos(a + \beta)} = \operatorname{tg}(a + \beta)$$

Ответ: $\operatorname{tg}(a + \beta)$.

в)

$$\frac{\cos(a + \beta) + \sin a \cdot \sin \beta}{\cos(a — \beta) — \sin a \cdot \sin \beta}$$

Шаг 1. Раскрытие тригонометрических функций для $\cos(a + \beta)$ и $\cos(a — \beta)$.

Используем формулы для $\cos(a + \beta)$ и $\cos(a — \beta)$:

• $\cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta$
• $\cos(a — \beta) = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta$

Теперь подставим эти выражения в исходное:

$$\frac{(\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) + \sin a \cdot \sin \beta}{(\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) — \sin a \cdot \sin \beta}$$

Шаг 2. Упрощение числителя и знаменателя.

В числителе:

$$(\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) + \sin a \cdot \sin \beta = \cos a \cdot \cos \beta$$

В знаменателе:

$$(\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) — \sin a \cdot \sin \beta = \cos a \cdot \cos \beta$$

Теперь выражение упрощается до:

$$\frac{\cos a \cdot \cos \beta}{\cos a \cdot \cos \beta} = 1$$

Ответ: $1$.

г)

$$\frac{\cos(a + \beta) — 2 \sin a \cdot \sin \beta}{2 \sin a \cdot \cos \beta — \sin(a — \beta)}$$

Шаг 1. Раскрытие тригонометрических функций для $\cos(a + \beta)$ и $\sin(a — \beta)$.

Используем те же формулы для $\cos(a + \beta)$ и $\sin(a — \beta)$, что и в предыдущих шагах:

• $\cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta$
• $\sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta$

Теперь подставим эти выражения в исходное:

$$\frac{(\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) — 2 \sin a \cdot \sin \beta}{2 \sin a \cdot \cos \beta — (\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta)}$$

Шаг 2. Упрощение числителя и знаменателя.

В числителе:

$$(\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) — 2 \sin a \cdot \sin \beta = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta$$

В знаменателе:

$$2 \sin a \cdot \cos \beta — (\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta$$

Теперь выражение упрощается до:

$$\frac{\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta}{\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta}$$

Шаг 3. Применение формул для косинуса и синуса суммы.

Заметив, что числитель — это $\cos(a + \beta)$, а знаменатель — это $\sin(a + \beta)$, получаем:

$$\frac{\cos(a + \beta)}{\sin(a + \beta)} = \operatorname{ctg}(a + \beta)$$

Ответ: $\operatorname{ctg}(a + \beta)$.

Итоговые ответы:

а) $1$
б) $\operatorname{tg}(a + \beta)$
в) $1$
г) $\operatorname{ctg}(a + \beta)$