1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
GDZ
ГДЗ Мордкович 7, 8, 9, 10, 11 Класс по Алгебре Все Учебники — Ответы на Любые Задачи Бесплатно
ГДЗ Мордкович 10 Класс по Алгебре — Онлайн Решение Задач Бесплатно
ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части
ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.6 Профильный Уровень Мордкович - Подробные Ответы
А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.
10 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.
Год
2015-2020.
Издательство
Мнемозина.
Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Оцени решение
← Предыдущий Следующий →
Сообщить об ошибке

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Упростите выражение:

а)sin⁡(a+β)−cos⁡a⋅sin⁡βsin⁡(a−β)+cos⁡a⋅sin⁡β

б)sin⁡(a−β)+2cos⁡a⋅sin⁡β2cos⁡a⋅cos⁡β−cos⁡(a−β)

в)cos⁡(a+β)+sin⁡a⋅sin⁡βcos⁡(a−β)−sin⁡a⋅sin⁡β

г)cos⁡(a+β)−2sin⁡a⋅sin⁡β2sin⁡a⋅cos⁡β−sin⁡(a−β)

Краткий ответ

а)

sin⁡(a+β)−cos⁡a⋅sin⁡βsin⁡(a−β)+cos⁡a⋅sin⁡β=(sin⁡a⋅cos⁡β+cos⁡a⋅sin⁡β)−cos⁡a⋅sin⁡β(sin⁡a⋅cos⁡β−cos⁡a⋅sin⁡β)+cos⁡a⋅sin⁡β=\frac{\sin(a + \beta) — \cos a \cdot \sin \beta}{\sin(a — \beta) + \cos a \cdot \sin \beta} = \frac{(\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) — \cos a \cdot \sin \beta}{(\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) + \cos a \cdot \sin \beta} = =sin⁡a⋅cos⁡βsin⁡a⋅cos⁡β=1;= \frac{\sin a \cdot \cos \beta}{\sin a \cdot \cos \beta} = 1;

Ответ: 1.

б)

sin⁡(a−β)+2cos⁡a⋅sin⁡β2cos⁡a⋅cos⁡β−cos⁡(a−β)=(sin⁡a⋅cos⁡β−cos⁡a⋅sin⁡β)+2cos⁡a⋅sin⁡β2cos⁡a⋅cos⁡β−(cos⁡a⋅cos⁡β+sin⁡a⋅sin⁡β)=\frac{\sin(a — \beta) + 2 \cos a \cdot \sin \beta}{2 \cos a \cdot \cos \beta — \cos(a — \beta)} = \frac{(\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) + 2 \cos a \cdot \sin \beta}{2 \cos a \cdot \cos \beta — (\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta)} = =sin⁡a⋅cos⁡β+cos⁡a⋅sin⁡βcos⁡a⋅cos⁡β−sin⁡a⋅sin⁡β=sin⁡(a+β)cos⁡(a+β)=tg⁡(a+β);= \frac{\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta}{\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta} = \frac{\sin(a + \beta)}{\cos(a + \beta)} = \operatorname{tg}(a + \beta);

Ответ: tg⁡(a+β)\operatorname{tg}(a + \beta).

в)

cos⁡(a+β)+sin⁡a⋅sin⁡βcos⁡(a−β)−sin⁡a⋅sin⁡β=(cos⁡a⋅cos⁡β−sin⁡a⋅sin⁡β)+sin⁡a⋅sin⁡β(cos⁡a⋅cos⁡β+sin⁡a⋅sin⁡β)−sin⁡a⋅sin⁡β=\frac{\cos(a + \beta) + \sin a \cdot \sin \beta}{\cos(a — \beta) — \sin a \cdot \sin \beta} = \frac{(\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) + \sin a \cdot \sin \beta}{(\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) — \sin a \cdot \sin \beta} = =cos⁡a⋅cos⁡βcos⁡a⋅cos⁡β=1;= \frac{\cos a \cdot \cos \beta}{\cos a \cdot \cos \beta} = 1;

Ответ: 1.

г)

cos⁡(a+β)−2sin⁡a⋅sin⁡β2sin⁡a⋅cos⁡β−sin⁡(a−β)=(cos⁡a⋅cos⁡β+sin⁡a⋅sin⁡β)−2sin⁡a⋅sin⁡β2sin⁡a⋅cos⁡β−(sin⁡a⋅cos⁡β−cos⁡β⋅sin⁡a)=\frac{\cos(a + \beta) — 2 \sin a \cdot \sin \beta}{2 \sin a \cdot \cos \beta — \sin(a — \beta)} = \frac{(\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) — 2 \sin a \cdot \sin \beta}{2 \sin a \cdot \cos \beta — (\sin a \cdot \cos \beta — \cos \beta \cdot \sin a)} = =cos⁡a⋅cos⁡β−sin⁡a⋅sin⁡βsin⁡a⋅cos⁡β+cos⁡β⋅sin⁡a=cos⁡(a+β)sin⁡(a+β)=ctg⁡(a+β);= \frac{\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta}{\sin a \cdot \cos \beta + \cos \beta \cdot \sin a} = \frac{\cos(a + \beta)}{\sin(a + \beta)} = \operatorname{ctg}(a + \beta);

Ответ: ctg⁡(a+β)\operatorname{ctg}(a + \beta).

Подробный ответ

а)

sin⁡(a+β)−cos⁡a⋅sin⁡βsin⁡(a−β)+cos⁡a⋅sin⁡β\frac{\sin(a + \beta) — \cos a \cdot \sin \beta}{\sin(a — \beta) + \cos a \cdot \sin \beta}

Шаг 1. Раскрытие тригонометрических функций для sin⁡(a+β)\sin(a + \beta) и sin⁡(a−β)\sin(a — \beta).

Используем формулы для синуса суммы и разности углов:

  • Для sin⁡(a+β)\sin(a + \beta) используем формулу:

    sin⁡(a+β)=sin⁡a⋅cos⁡β+cos⁡a⋅sin⁡β\sin(a + \beta) = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta

  • Для sin⁡(a−β)\sin(a — \beta) используем формулу:

    sin⁡(a−β)=sin⁡a⋅cos⁡β−cos⁡a⋅sin⁡β\sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta

Теперь подставляем эти выражения в исходное выражение:

(sin⁡a⋅cos⁡β+cos⁡a⋅sin⁡β)−cos⁡a⋅sin⁡β(sin⁡a⋅cos⁡β−cos⁡a⋅sin⁡β)+cos⁡a⋅sin⁡β\frac{(\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) — \cos a \cdot \sin \beta}{(\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) + \cos a \cdot \sin \beta}

Шаг 2. Упрощение числителя и знаменателя.

В числителе:

(sin⁡a⋅cos⁡β+cos⁡a⋅sin⁡β)−cos⁡a⋅sin⁡β=sin⁡a⋅cos⁡β(\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) — \cos a \cdot \sin \beta = \sin a \cdot \cos \beta

В знаменателе:

(sin⁡a⋅cos⁡β−cos⁡a⋅sin⁡β)+cos⁡a⋅sin⁡β=sin⁡a⋅cos⁡β(\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) + \cos a \cdot \sin \beta = \sin a \cdot \cos \beta

Теперь выражение упрощается до:

sin⁡a⋅cos⁡βsin⁡a⋅cos⁡β=1\frac{\sin a \cdot \cos \beta}{\sin a \cdot \cos \beta} = 1

Ответ: 11.

б)

sin⁡(a−β)+2cos⁡a⋅sin⁡β2cos⁡a⋅cos⁡β−cos⁡(a−β)\frac{\sin(a — \beta) + 2 \cos a \cdot \sin \beta}{2 \cos a \cdot \cos \beta — \cos(a — \beta)}

Шаг 1. Раскрытие тригонометрических функций для sin⁡(a−β)\sin(a — \beta) и cos⁡(a−β)\cos(a — \beta).

Используем те же формулы для sin⁡(a−β)\sin(a — \beta), что и в предыдущем примере, а также формулу для cos⁡(a−β)\cos(a — \beta):

  • sin⁡(a−β)=sin⁡a⋅cos⁡β−cos⁡a⋅sin⁡β\sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta
  • cos⁡(a−β)=cos⁡a⋅cos⁡β+sin⁡a⋅sin⁡β\cos(a — \beta) = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta

Теперь подставим эти выражения в исходное:

(sin⁡a⋅cos⁡β−cos⁡a⋅sin⁡β)+2cos⁡a⋅sin⁡β2cos⁡a⋅cos⁡β−(cos⁡a⋅cos⁡β+sin⁡a⋅sin⁡β)\frac{(\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) + 2 \cos a \cdot \sin \beta}{2 \cos a \cdot \cos \beta — (\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta)}

Шаг 2. Упрощение числителя и знаменателя.

В числителе:

(sin⁡a⋅cos⁡β−cos⁡a⋅sin⁡β)+2cos⁡a⋅sin⁡β=sin⁡a⋅cos⁡β+cos⁡a⋅sin⁡β(\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) + 2 \cos a \cdot \sin \beta = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta

В знаменателе:

2cos⁡a⋅cos⁡β−(cos⁡a⋅cos⁡β+sin⁡a⋅sin⁡β)=cos⁡a⋅cos⁡β−sin⁡a⋅sin⁡β2 \cos a \cdot \cos \beta — (\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta

Теперь выражение упрощается до:

sin⁡a⋅cos⁡β+cos⁡a⋅sin⁡βcos⁡a⋅cos⁡β−sin⁡a⋅sin⁡β\frac{\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta}{\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta}

Шаг 3. Применение формул для синуса и косинуса суммы.

Заметив, что числитель — это sin⁡(a+β)\sin(a + \beta), а знаменатель — это cos⁡(a+β)\cos(a + \beta), получаем:

sin⁡(a+β)cos⁡(a+β)=tg⁡(a+β)\frac{\sin(a + \beta)}{\cos(a + \beta)} = \operatorname{tg}(a + \beta)

Ответ: tg⁡(a+β)\operatorname{tg}(a + \beta).

в)

cos⁡(a+β)+sin⁡a⋅sin⁡βcos⁡(a−β)−sin⁡a⋅sin⁡β\frac{\cos(a + \beta) + \sin a \cdot \sin \beta}{\cos(a — \beta) — \sin a \cdot \sin \beta}

Шаг 1. Раскрытие тригонометрических функций для cos⁡(a+β)\cos(a + \beta) и cos⁡(a−β)\cos(a — \beta).

Используем формулы для cos⁡(a+β)\cos(a + \beta) и cos⁡(a−β)\cos(a — \beta):

  • cos⁡(a+β)=cos⁡a⋅cos⁡β−sin⁡a⋅sin⁡β\cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta
  • cos⁡(a−β)=cos⁡a⋅cos⁡β+sin⁡a⋅sin⁡β\cos(a — \beta) = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta

Теперь подставим эти выражения в исходное:

(cos⁡a⋅cos⁡β−sin⁡a⋅sin⁡β)+sin⁡a⋅sin⁡β(cos⁡a⋅cos⁡β+sin⁡a⋅sin⁡β)−sin⁡a⋅sin⁡β\frac{(\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) + \sin a \cdot \sin \beta}{(\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) — \sin a \cdot \sin \beta}

Шаг 2. Упрощение числителя и знаменателя.

В числителе:

(cos⁡a⋅cos⁡β−sin⁡a⋅sin⁡β)+sin⁡a⋅sin⁡β=cos⁡a⋅cos⁡β(\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) + \sin a \cdot \sin \beta = \cos a \cdot \cos \beta

В знаменателе:

(cos⁡a⋅cos⁡β+sin⁡a⋅sin⁡β)−sin⁡a⋅sin⁡β=cos⁡a⋅cos⁡β(\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) — \sin a \cdot \sin \beta = \cos a \cdot \cos \beta

Теперь выражение упрощается до:

cos⁡a⋅cos⁡βcos⁡a⋅cos⁡β=1\frac{\cos a \cdot \cos \beta}{\cos a \cdot \cos \beta} = 1

Ответ: 11.

г)

cos⁡(a+β)−2sin⁡a⋅sin⁡β2sin⁡a⋅cos⁡β−sin⁡(a−β)\frac{\cos(a + \beta) — 2 \sin a \cdot \sin \beta}{2 \sin a \cdot \cos \beta — \sin(a — \beta)}

Шаг 1. Раскрытие тригонометрических функций для cos⁡(a+β)\cos(a + \beta) и sin⁡(a−β)\sin(a — \beta).

Используем те же формулы для cos⁡(a+β)\cos(a + \beta) и sin⁡(a−β)\sin(a — \beta), что и в предыдущих шагах:

  • cos⁡(a+β)=cos⁡a⋅cos⁡β+sin⁡a⋅sin⁡β\cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta
  • sin⁡(a−β)=sin⁡a⋅cos⁡β−cos⁡a⋅sin⁡β\sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta

Теперь подставим эти выражения в исходное:

(cos⁡a⋅cos⁡β+sin⁡a⋅sin⁡β)−2sin⁡a⋅sin⁡β2sin⁡a⋅cos⁡β−(sin⁡a⋅cos⁡β−cos⁡a⋅sin⁡β)\frac{(\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) — 2 \sin a \cdot \sin \beta}{2 \sin a \cdot \cos \beta — (\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta)}

Шаг 2. Упрощение числителя и знаменателя.

В числителе:

(cos⁡a⋅cos⁡β+sin⁡a⋅sin⁡β)−2sin⁡a⋅sin⁡β=cos⁡a⋅cos⁡β−sin⁡a⋅sin⁡β(\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) — 2 \sin a \cdot \sin \beta = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta

В знаменателе:

2sin⁡a⋅cos⁡β−(sin⁡a⋅cos⁡β−cos⁡a⋅sin⁡β)=sin⁡a⋅cos⁡β+cos⁡a⋅sin⁡β2 \sin a \cdot \cos \beta — (\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta

Теперь выражение упрощается до:

cos⁡a⋅cos⁡β−sin⁡a⋅sin⁡βsin⁡a⋅cos⁡β+cos⁡a⋅sin⁡β\frac{\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta}{\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta}

Шаг 3. Применение формул для косинуса и синуса суммы.

Заметив, что числитель — это cos⁡(a+β)\cos(a + \beta), а знаменатель — это sin⁡(a+β)\sin(a + \beta), получаем:

cos⁡(a+β)sin⁡(a+β)=ctg⁡(a+β)\frac{\cos(a + \beta)}{\sin(a + \beta)} = \operatorname{ctg}(a + \beta)

Ответ: ctg⁡(a+β)\operatorname{ctg}(a + \beta).

Итоговые ответы:

а) 11
б) tg⁡(a+β)\operatorname{tg}(a + \beta)
в) 11
г) ctg⁡(a+β)\operatorname{ctg}(a + \beta)

Оцени решение
← Предыдущий Следующий →
Сообщить об ошибке
Общая оценка
4.8 / 5
Комментарии

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Другие предметы
Алгебра
7-10 класс
7 10 10