ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Представив 2x в виде x + x, докажите тождество:

a) sin2x = 2sinx · cosx;

б) cos2x = cos²x — sin²x

Доказать тождество:

а) $\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sin 2x = \sin(x + x) = \sin x \cdot \cos x + \cos x \cdot \sin x = 2 \sin x \cdot \cos x;$$

Тождество доказано.

б) $\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\cos 2x = \cos(x + x) = \cos x \cdot \cos x — \sin x \cdot \sin x = \cos^2 x — \sin^2 x;$$

Тождество доказано.

Доказательство тождеств:

а) $\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x$

Для начала рассмотрим левую часть тождества — $\sin 2x$. Мы будем использовать одну из формул для синуса суммы углов:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

В нашем случае, $A = x$ и $B = x$, то есть, по формуле для суммы:

$$\sin(x + x) = \sin x \cdot \cos x + \cos x \cdot \sin x$$

Теперь мы видим, что выражение $\sin x \cdot \cos x + \cos x \cdot \sin x$ — это по сути два одинаковых слагаемых, то есть:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x$$

Таким образом, мы получаем, что правая часть выражения совпадает с левой, и тождество доказано.

б) $\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$

Теперь рассмотрим второе тождество — $\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$.

Для этого используем формулу для косинуса суммы углов:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

В нашем случае $A = x$ и $B = x$, то есть:

$$\cos(x + x) = \cos x \cdot \cos x — \sin x \cdot \sin x$$

Это выражение можно записать как:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Здесь мы видим, что правое и левое выражения совпадают, следовательно, тождество доказано.