ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\sin(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \cos(-\beta) = \sin a \cdot \cos \beta$

б) $\cos(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \sin(-\beta) = \sin a \cdot \cos \beta$

Доказать тождество:

а) $\sin(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \cos(-\beta) = \sin a \cdot \cos \beta$;

$$(\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) — \sin a \cdot \cos \beta = \sin a \cdot \cos \beta;$$ $$\cos a \cdot \sin \beta = \sin a \cdot \cos \beta;$$ $$0 = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta;$$ $$0 = \sin(a — \beta);$$

Тождество не выполняется.

б) $\cos(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \sin(-\beta) = \sin a \cdot \cos \beta$;

$$(\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) + \sin a \cdot \sin \beta = \sin a \cdot \cos \beta;$$ $$\cos a \cdot \cos \beta = \sin a \cdot \cos \beta;$$ $$\cos a = \sin a;$$

Тождество не выполняется.

а) $\sin(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \cos(-\beta) = \sin a \cdot \cos \beta$

Раскроем выражение для $\sin(a + \beta)$ по формуле сложения:

$$\sin(a + \beta) = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta$$

Раскроем выражение для $\sin(-a)$ и $\cos(-\beta)$. Мы знаем, что:

$$\sin(-a) = -\sin a \quad \text{и} \quad \cos(-\beta) = \cos \beta$$

Подставляем эти значения в исходное выражение:

$$\sin(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \cos(-\beta) = (\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) + (-\sin a \cdot \cos \beta)$$

Упростим полученное выражение:

$$(\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) — \sin a \cdot \cos \beta$$

Заметим, что $\sin a \cdot \cos \beta$ сокращается:

$$\cos a \cdot \sin \beta$$

Получаем:

$$\cos a \cdot \sin \beta = \sin a \cdot \cos \beta$$

Это выражение можно переписать как:

$$\cos a \cdot \sin \beta — \sin a \cdot \cos \beta = 0$$

или:

$$0 = \sin(a — \beta)$$

Это значит, что для тождества $\sin(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \cos(-\beta) = \sin a \cdot \cos \beta$ должно выполняться, что $\sin(a — \beta) = 0$, что в общем случае не выполняется.

Ответ: Тождество не выполняется.

б) $\cos(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \sin(-\beta) = \sin a \cdot \cos \beta$

Раскроем выражение для $\cos(a + \beta)$ по формуле сложения:

$$\cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta$$

Раскроем выражение для $\sin(-a)$ и $\sin(-\beta)$. Мы знаем, что:

$$\sin(-a) = -\sin a \quad \text{и} \quad \sin(-\beta) = -\sin \beta$$

Подставляем эти значения в исходное выражение:

$$\cos(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \sin(-\beta) = (\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) + (-\sin a \cdot -\sin \beta)$$

Упростим:

$$\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta + \sin a \cdot \sin \beta$$

Заметим, что $-\sin a \cdot \sin \beta + \sin a \cdot \sin \beta = 0$, тогда остается:

$$\cos a \cdot \cos \beta$$

Получаем:

$$\cos a \cdot \cos \beta = \sin a \cdot \cos \beta$$

Разделим обе части равенства на $\cos \beta$ (предположим, что $\cos \beta \neq 0$):

$$\cos a = \sin a$$

Это равенство $\cos a = \sin a$ выполняется только в тех случаях, когда $a = \frac{\pi}{4} + k\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$, что в общем случае не выполняется для всех значений $a$ и $\beta$.

Ответ: Тождество не выполняется.